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定義“不動點”：對于函數f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0，則稱x0是函數f(x)的不動點．已知函數f(x)＝x2＋(b＋1)x＋(2b－3)．

(1)當b＝0時，求函數f(x)的不動點；

(2)若函數f(x)有兩個不同的不動點，求實數b的取值范圍．(提示：b2－8b＋12＞0b＞6，或b＜2)

答案：
解析：

　　解：(1)當b＝0時，f(x)＝x2＋x－3．

　　由題意知，f(x)的不動點滿足x2＋x－3＝x，即x2－3＝0，解得x＝±．

　　所以，當b＝0時，函數f(x)有兩個不動點－和．

　　(2)因為f(x)＝x2＋(b＋1)x＋(2b－3)有兩個不同的不動點，

　　所以x＝x2＋(b＋1)x＋(2b－3)有兩個不相等的實數根，

　　即x2＋bx＋(2b－3)＝0有兩個不相等的實數根，

　　所以Δ＝b2－4(2b－3)＞0，即b2－8b＋12＞0，解得b＞6，或b＜2．

　　所以，當函數f(x)有兩個不同的不動點時，實數b的取值范圍為(－∞，2)∪(6，＋∞)．

　　點評：函數f(x)的“不動點”實質上就是方程f(x)＝x的根，這樣，函數與方程有機地結合在一起．本題也屬于信息遷移題，讀懂題意，理解新概念，并將此轉化為已學知識是解題的關鍵．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義：若函數f（x）對于其定義域內的某一數x0，有 f （x0）=x0，則稱x0是f （x）的一個不動點．已知函數f（x）=ax2+（b+1）x+b-1 （a≠0）．
（Ⅰ）當a=1，b=-2時，求函數f（x）的不動點；
（Ⅱ）若對任意的實數b，函數f（x）恒有兩個不動點，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若y=f（x）圖象上兩個點A、B的橫坐標是函數f（x）的不動點，且A、B兩點關于直線y=kx+
a5a2-4a+1
對稱，求b的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

16、對于定義在R上的函數f（x），若實數x0滿足f（x0）=x0，則稱x0是函數f（x）的一個不動點．若二次函數f（x）=x2+ax+1沒有不動點，則實數a的取值范圍是
-1＜a＜3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對定義在實數集上的函數f（x），若存在實數x0，使得f（x0）=x0，那么稱x0為函數f（x）的一個不動點．
（1）已知函數f（x）=ax2+bx-b（a≠0）有不動點1與-3，求a、b；
（2）若對于任意實數b，函數f（x）=ax2+bx-b （a≠0）總有兩個相異的不動點，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義在R上的函數f（x），若實數x0滿足f（x0）=x0，則稱x0是函數f（x）的一個不動點．若函數f（x）=ax2+2x+1有一個不動點，則實數a的取值集合是
{
1
4
，0}
{
1
4
，0}
．

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科目：高中數學 來源：成功之路·突破重點線·數學（學生用書） 題型：022

對于定義在R上的函數f(x)，若實數x0滿足f(x0)＝x0，則稱x0是函數f(x)的一個不動點，現(xiàn)給定一個實數a∈(4，5)，則函數f(x)＝x2＋ax＋1的不動點共有________個．

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