(本小題滿分12分)如圖,在棱長為1的正方體中,AP=BQ=b(0<b<1),截面PQEF,截面PQGH
(Ⅰ)證明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;
(Ⅱ)證明:截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值,
并求出這個(gè)值;
(Ⅲ)若,求與平面PQEF所成角的正弦值.
(Ⅰ)同解析(Ⅱ)截面PQEF和截面PQGH面積之和為,是定值.(Ⅲ)
解法一:
(Ⅰ)證明:在正方體中,,,
又由已知可得
,,,
所以,,
所以平面
所以平面和平面互相垂直.  4分
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知
,又截面PQEF和截面PQGH都是矩形,且PQ=1,所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是
,是定值.    8分
(Ⅲ)解:設(shè)于點(diǎn),連結(jié),
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140305577270.gif" style="vertical-align:middle;" />平面,
所以與平面所成的角.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140304937290.gif" style="vertical-align:middle;" />,所以分別為,,的中點(diǎn).
可知
所以.   12分

解法二:
D為原點(diǎn),射線DA,DC,DD′分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.由已知得,故
,,,,
,
,,

(Ⅰ)證明:在所建立的坐標(biāo)系中,可得
,
,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140307137749.gif" style="vertical-align:middle;" />,所以是平面PQEF的法向量.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140307168638.gif" style="vertical-align:middle;" />,所以是平面PQGH的法向量.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140307183401.gif" style="vertical-align:middle;" />,所以,
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.  4分
(Ⅱ)證明:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140307215527.gif" style="vertical-align:middle;" />,所以,又,所以PQEF為矩形,同理PQGH為矩形.
在所建立的坐標(biāo)系中可求得,,
所以,又,
所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為,是定值. 8分
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知是平面的法向量.
中點(diǎn)可知,分別為,,的中點(diǎn).
所以,因此與平面所成角的正弦值等于
. 12分
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅱ)求二面角的大;
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(2)求異面直線PA與BC所成的角.

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(Ⅰ)點(diǎn)B到平面的距離;
(Ⅱ)異面直線lAB所成的角(用反三角函數(shù)表示).

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