Question

某工廠擬建一座平面圖(如下圖)為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池，由于地形限制，長、寬都不能超過16米，如果池外周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建造單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元(池壁厚度忽略不計，且池無蓋).
(1)寫出總造價y(元)與污水處理池長x(米)的函數(shù)關系式，并指出其定義域.
(2)求污水處理池的長和寬各為多少時，污水處理池的總造價最低？并求最低總造價.

Answer 1

(1) y=800(x+)+1600，函數(shù)定義域為［12.5，16］(2) 當污水處理池的長為16米，寬為12.5米時，總造價最低，最低為45000元.

 (1)因污水處理水池的長為x米，則寬為米，
總造價y=400(2x+2×)+248××2+80×200=800(x+)+1600,由題設條件 
解得12.5≤x≤16,即函數(shù)定義域為［12.5，16］.
(2)先研究函數(shù)y=f(x)=800(x+)+16000在［12.5,16］上的單調(diào)性，
對于任意的x₁,x₂∈［12 5,16］,不妨設x₁＜x₂,
則f(x₂)－f(x₁)=800［(x₂－x₁)+324()］=800(x₂－x₁)(1－),
∵12.5≤x₁≤x₂≤16.
∴0＜x₁x₂＜16²＜324,∴>1,即1－＜0.
又x₂－x₁>0,∴f(x₂)－f(x₁)＜0,即f(x₂)＜f(x₁),
故函數(shù)y=f(x)在［12.5,16］上是減函數(shù).
∴當x=16時，y取得最小值，此時，y_min=800(16+)+16000=45000(元)，=12.5(米）
綜上，當污水處理池的長為16米，寬為12.5米時，總造價最低，最低為45000元.