【題目】如圖,三棱錐,側(cè)棱,底面三角形為正三角形,邊長為,頂點(diǎn)在平面上的射影為,有,且.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn)使得⊥平面,如果存在,求的值;如果不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)見解析.
【解析】試題分析:(1)證線面平行,則要在平面找一線與之平行即可,顯然分析即得證,(2)求二面角可借助空間直角坐標(biāo)系將兩個(gè)平面的法向量一一求出,再根據(jù)向量的數(shù)量積公式便可求解(3)存在問題可以根據(jù)結(jié)論反推即可,容易得因?yàn)?/span>,所以與不垂直,故不存在
試題解析:
(Ⅰ)因?yàn)?/span>,且, ,所以,
所以.
因?yàn)?/span>為正三角形,所以,
又由已知可知為平面四邊形,所以.
因?yàn)?/span>平面, 平面,
所以平面.
(Ⅱ)由點(diǎn)在平面上的射影為可得平面,
所以, .
以分別為建立空間直角坐標(biāo)系,則由已知可知, , , .
平面的法向量,
設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則
由可得
令,則,所以平面的一個(gè)法向量,
所以,
所以二面角的余弦值為.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得, ,
因?yàn)?/span>,
所以與不垂直,
所以在線段上不存在點(diǎn)使得⊥平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知點(diǎn)和函數(shù)圖像上動點(diǎn),對任意,直線傾斜角都是鈍角,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位附近只有甲、乙兩個(gè)臨時(shí)停車場,它們各有個(gè)車位,為了方便市民停車,某互聯(lián)網(wǎng)停車公司對這兩個(gè)停車場,在某些固定時(shí)刻的剩余停車位進(jìn)行記錄,如下表:
時(shí)間 停車場 | 點(diǎn) | 點(diǎn) | 點(diǎn) | 點(diǎn) | 點(diǎn) | 點(diǎn) |
甲停車場 | ||||||
乙停車場 |
如果表中某一時(shí)刻剩余停車位數(shù)低于該停車場總車位數(shù)的,那么當(dāng)車主驅(qū)車抵達(dá)單位附近時(shí),該公司將會向車主發(fā)出停車場飽和警報(bào).
(1)假設(shè)某車主在以上六個(gè)時(shí)刻抵達(dá)單位附近的可能性相同,求他收到甲停車場飽和警報(bào)的概率;
(2)從這六個(gè)時(shí)刻中任選一個(gè)時(shí)刻,求甲停車場比乙停車場剩余車位數(shù)少的概率;
(3)當(dāng)乙停車場發(fā)出飽和警報(bào)時(shí),求甲停車場也發(fā)出飽和警報(bào)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在幾何體中,底面為矩形, , .點(diǎn)在棱上,平面與棱交于點(diǎn).
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)若, , ,平面平面,求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一批材料可以建成100m長的圍墻,現(xiàn)用這些材料在一邊靠墻的地方圍成一塊封閉的矩形場地,中間隔成3個(gè)面積相等的小矩形(如圖),則圍成的矩形場地的最大總面積為(圍墻厚度忽略不計(jì))m2 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是邊長為的正方形, 底面, 分別為的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若,試問在線段上是否存在點(diǎn),使得二面角 的余弦值為?若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí), 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(Ⅰ)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),坐標(biāo)軸為對稱軸,并經(jīng)過點(diǎn),求此拋物線的方程.
(Ⅱ)已知圓: (),把圓上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長到原來的倍得一橢圓.求橢圓方程,并證明橢圓離心率是與無關(guān)的常數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】斐波那契數(shù)列滿足: .若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里,每一小格子的邊長為1,記前項(xiàng)所占的格子的面積之和為,每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. B.
C. D.
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