【題目】已知函數(shù),,對于不相等的實數(shù)、,設,,現(xiàn)有如下命題:
①對于任意不相等的實數(shù)、,都有;
②對于任意的及任意不相等的實數(shù)、,都有;
③對于任意的,存在不相等的實數(shù)、,使得;
④對于任意的,存在不相等的實數(shù)、,使得;
其中所有的真命題的序號是_______.
【答案】①④
【解析】
①根據(jù)函數(shù)單調性的定義來判斷是否正確. ②通過舉反例來判斷是否正確. ③通過構造函數(shù),利用導數(shù)研究的單調性來判斷是否正確. ④通過構造函數(shù),利用導數(shù)研究的單調性來判斷是否正確.
對于①,由于在上單調遞增,根據(jù)單調性的定義可知,對于任意不相等的實數(shù)、,都有,故①是真命題.
對于②,當時,,則,所以②是假命題.
對于③,若,則,即,即,令,由于,所以不是單調函數(shù).令,得.令,則由解得,所以在上遞減,在上遞增,當時取得極小值也即是最小值,所以不滿足對任意實數(shù)成立.所以③錯誤.
對于④,若,則,即,即,令,由于,所以不是單調函數(shù).令,得.令,則,所以在上單調遞減,值域為,所以滿足對任意實數(shù)成立.所以對于任意的,存在不相等的實數(shù)、,使得,所以④為真命題.
故答案為:①④
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】年諾貝爾生理學或醫(yī)學獎獲得者威廉·凱林(WilliamG.KaelinJr)在研究腎癌的抑制劑過程中使用的輸液瓶可以視為兩個圓柱的組合體.開始輸液時,滴管內勻速滴下液體(滴管內液體忽略不計),設輸液開始后分鐘,瓶內液面與進氣管的距離為厘米,已知當時,.如果瓶內的藥液恰好分鐘滴完.則函數(shù)的圖像為( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,過點的直線與橢圓交于兩點,延長交橢圓于點,的周長為8.
(1)求的離心率及方程;
(2)試問:是否存在定點,使得為定值?若存在,求;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,四邊形是等腰梯形,,,,為的中點.將沿折起,如圖2,點是棱上的點.
(1)若為的中點,證明:平面平面;
(2)若,試確定的位置,使二面角的余弦值等于.
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【題目】已定義,已知函數(shù)的定義域都是,則下列四個命題中為真命題的是_________.(寫出所有真命題的序號)
① 若都是奇函數(shù),則函數(shù)為奇函數(shù).
② 若都是偶函數(shù),則函數(shù)為偶函數(shù).
③ 若都是增函數(shù),則函數(shù)為增函數(shù).
④ 若都是減函數(shù),則函數(shù)為減函數(shù).
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【題目】已知直線為公海與領海的分界線,一艘巡邏艇在原點處發(fā)現(xiàn)了北偏東 海面上處有一艘走私船,走私船正向停泊在公海上接應的走私海輪航行,以便上海輪后逃竄.已知巡邏艇的航速是走私船航速的2倍,且兩者都是沿直線航行,但走私船可能向任一方向逃竄.
(1)如果走私船和巡邏船相距6海里,求走私船能被截獲的點的軌跡;
(2)若與公海的最近距離20海里,要保證在領海內捕獲走私船,則,之間的最遠距離是多少海里?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關系:C(x)=若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元。設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和。
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表達式。
(Ⅱ)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值。
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