Question

已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)F到右頂點(diǎn)的距離為
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且與圓相切，求△AOB的面積為時(shí)求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)F到右頂點(diǎn)的距離為，求出橢圓的幾何量，即可求得橢圓的方程；
（II）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程，利用直線l與圓相切，確定m，k的關(guān)系，再利用韋達(dá)定理及△AOB的面積為，即可求得直線l的斜率．
解答：解：（I）由題意得c=，a+c=
∴，∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的方程為；
（II）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為，代入橢圓方程，可得，此時(shí)|AB|=，△AOB的面積為S==，不符合題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直線l與圓相切，∴=，即
直線與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
∴|AB|=×=×
∴×××=，∴k=±
即直線l的斜率為±．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．