Question

17．己知f（x）=log_a（a^x-1）（a＞1）．求：
（1）函數f（x）的定義城；
（2）求使f（2x）=f^-1（x）的x的值．

Answer 1

分析 （1）由函數的解析式可得 a^x-1＞0，即 a^x ＞1，解得 x的范圍，即可求得f（x）的定義域；
（2）求反函數可得f^-1（x）=log_a（a^x+1），可得log_a（a^2x-1）=log_a（a^x+1），解方程可得．

解答 解：（1）∵f（x）=log_a（a^x-1）（a＞1），
∴a^x-1＞0，即 a^x ＞1，解得 x＞0，
故函數的定義域為（0，+∞）；
（2）∵y=f（x）=log_a（a^x-1），
∴a^x-1=a^y，解得x=log_a（a^y+1），
∴反函數f^-1（x）=log_a（a^x+1），
故f（2x）=f^-1（x）可化為log_a（a^2x-1）=log_a（a^x+1），
可得a^2x-1=a^x-1，即（a^x+1）（a^x-1）=a^x+1，
∵a^x+1＞1，∴a^x-1=1，即x=log_a2．

點評 本題考查反函數，涉及對數的運算和指數函數的值域，屬中檔題．