【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且DE∥BC,DE=2,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.
(1)求證:A1C⊥平面BCDE;
(2)若M是A1D的中點(diǎn),求CM與平面A1BE所成角的大;
(3)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說明理由.
【答案】
(1)證明:∵CD⊥DE,A1D⊥DE,CD∩A1D=D,
∴DE⊥平面A1CD,
又∵A1C平面A1CD,∴A1C⊥DE
又A1C⊥CD,CD∩DE=D
∴A1C⊥平面BCDE
(2)解:如圖建系,則C(0,0,0),D(﹣2,0,0),A1(0,0,2 ),B(0,3,0),E(﹣2,2,0)
∴ ,
設(shè)平面A1BE法向量為
則 ∴ ∴
∴
又∵M(jìn)(﹣1,0, ),∴ =(﹣1,0, )
∴
∴CM與平面A1BE所成角的大小45°
(3)解:設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,a,0),則a∈[0,3]
∴ ,
設(shè)平面A1DP法向量為
則 ∴
∴
假設(shè)平面A1DP與平面A1BE垂直,則 ,
∴3a+12+3a=0,6a=﹣12,a=﹣2
∵0≤a≤3
∴不存在線段BC上存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直
【解析】(1)證明A1C⊥平面BCDE,因?yàn)锳1C⊥CD,只需證明A1C⊥DE,即證明DE⊥平面A1CD;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,求出平面A1BE法向量 , =(﹣1,0, ),利用向量的夾角公式,即可求得CM與平面A1BE所成角的大;(3)設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,a,0),則a∈[0,3],求出平面A1DP法向量為
假設(shè)平面A1DP與平面A1BE垂直,則 ,可求得0≤a≤3,從而可得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想),還要掌握向量語(yǔ)言表述面面的垂直、平行關(guān)系(若平面的法向量為,平面的法向量為,要證∥,只需證∥,即證;要證,只需證,即證)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是定義在上的奇函數(shù),且,對(duì)任意的且 時(shí),有成立.
(1)判斷在上的單調(diào)性,并用定義證明;
(2)解不等式;
(3)若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的一個(gè)上界.已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合;
(3)若函數(shù)在上是以5為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A﹣BC﹣C,有如下四個(gè)結(jié)論:
①AC⊥BD;②△ABC是等邊三角形;
③AB與CD所成的角90°;④二面角A﹣BC﹣D的平面角正切值是;
其中正確結(jié)論是 .(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F(xiàn)分別是線段BE,DC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:BE//平面ADE ;
(Ⅱ)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是等差數(shù)列,滿足, ,數(shù)列滿足, ,且是等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),與是的子集,若,則稱為一個(gè)“理想配集”,那么符合此條件的“理想配集”的個(gè)數(shù)是________.(規(guī)定與是兩個(gè)不同的“理想配集”)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD= ,BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′﹣BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,則下列結(jié)論正確的是( )
A.A′C⊥BD
B.∠BA′C=90°
C.CA′與平面A′BD所成的角為30°
D.四面體A′﹣BCD的體積為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地區(qū)上年度電價(jià)為元/kWh,年用電量為kWh.本年度計(jì)劃將電價(jià)降低到0.55元/ kWh到0.75元/ kWh之間,而用戶期望電價(jià)為0.40元/ kWh.經(jīng)測(cè)算,下調(diào)電價(jià)后新增用電量與實(shí)際電價(jià)與用戶的期望電價(jià)的差成反比(比例系數(shù)為),該地區(qū)電力的成本價(jià)為0.30元/ kWh.
(1)寫出本年度電價(jià)下調(diào)后,電力部門的收益與實(shí)際電價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)=,當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)仍可保證電力部門的收益比上一年至少增長(zhǎng)20%?(注:收益=實(shí)際電量×(實(shí)際電價(jià)-成本價(jià)))
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