如圖,某小區(qū)有一邊長為2(單位:百米)的正方形地塊OABC,其中OAE是一個游泳池,計劃在地塊OABC內修一條與池邊AE相切的直路(寬度不計),切點為M,并把該地塊分為兩部分.現以點O為坐標原點,以線段OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系,若池邊AE滿足函數的圖象,且點M到邊OA距離為.
(1)當時,求直路所在的直線方程;
(2)當為何值時,地塊OABC在直路不含泳池那側的面積取到最大,最大值是多少?
(1);(2)時,.
【解析】
試題分析:(1)點M到邊OA距離為,則可設,當時,求切線的方程是一個常規(guī)問題,切線的斜率是處的導數,易求出直線的點斜式方程;(2)要求不含泳池一側的面積,就是要把這個面積表示為變量的函數,為此需要確定切線與線段的交點,當然也可能是與線段的交點,這作一個判斷或分類討論,面積函數解決后,用一般求最值的方法,則可解決問題.
試題解析:
(1)對函數求導得,,,又,所以切點,切線的方程為,即;
(2),過切點的切線
即,令得,故切線交于點;
令,得,又在遞減,所以
故切線與OC交于點。
地塊OABC在切線右上部分區(qū)域為直角梯形,
面積,當,。
考點:導數的應用、函數的最值.
科目:高中數學 來源: 題型:
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科目:高中數學 來源: 題型:
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科目:高中數學 來源:2012-2013學年江蘇省高三3月月考數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分15分)
如圖,某小區(qū)有一邊長為2(單位:百米)的正方形地塊OABC,其中OAE是一個游泳池,計劃在地塊OABC內修一條與池邊AE相切的直路(寬度不計),切點為M,并把該地塊分為兩部分.現以點O為坐標原點,以線段OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系,若池邊AE滿足函數)的圖象,且點M到邊OA距離為.
(1)當時,求直路所在的直線方程;
(2)當t為何值時,地塊OABC在直路不含泳池那側的面積取到最大,最大值是多少?
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科目:高中數學 來源:2012-2013學年福建省福州市高三(上)期末數學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題
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