Question

設(shè)函數(shù)其中，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（I）確定的值；

（II）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線都過(guò)點(diǎn)（0,2）．證明：當(dāng)時(shí)，；

（III）若過(guò)點(diǎn)（0,2）可作曲線的三條不同切線，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I），；（II）詳見(jiàn)試題解析；（III）的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（I）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得，由已知：曲線在點(diǎn)處的切線方程為，從而可得的值及，又，故得；（II）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出在點(diǎn)處的切線方程為，而點(diǎn)在切線上，所以，化簡(jiǎn)即得滿足的方程為，下面利用反證法明當(dāng)時(shí)，；（III）由（II）知，過(guò)點(diǎn)可作的三條切線，等價(jià)于方程有三個(gè)相異的實(shí)根，即等價(jià)于方程有三個(gè)相異的實(shí)根．構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，只要的極大值與極小值異號(hào)即可，解這個(gè)不等式組即可求得的取值范圍．

試題解析：（I）由又由曲線處的切線方程為，得故

（II）處的切線方程為，而點(diǎn)在切線上，所以，化簡(jiǎn)得，即滿足的方程為．

下面用反證法證明：假設(shè)處的切線都過(guò)點(diǎn)，則下列等式成立．

由（3）得

又，故由（4）得，此時(shí)與矛盾，．

（III）由（II）知，過(guò)點(diǎn)可作的三條切線，等價(jià)于方程有三個(gè)相異的實(shí)根，即等價(jià)于方程有三個(gè)相異的實(shí)根．

設(shè)，則，由于，故有

		0
	+	0	－	0	+
	↗	極大值1	↘	極小值	↗

由 的單調(diào)性知：要使有三個(gè)相異的實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)<0，．

的取值范圍是．

考點(diǎn)：1．利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值；2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根．