Question

【題目】設(shè)函數(shù)（）.

（1）討論函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值是4，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上無極值；當(dāng)時(shí)，的極小值為，無極大值.（2）

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到答案.

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)最小值不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由（1）得是函數(shù)在上的極小值點(diǎn)，分類討論，即可求解.

解：（1）.

當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；無極值

當(dāng)時(shí)，，解得，

由，解得.

函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

的極小值為，無極大值

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上無極值；

當(dāng)時(shí)，的極小值為，無極大值.

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，

∴函數(shù)在上的最小值為，即，矛盾.

當(dāng)時(shí)，由（1）得是函數(shù)在R上的極小值點(diǎn).

①當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

則函數(shù)的最小值為，即，符合條件.

②當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

則函數(shù)的最小值為即，矛盾.

③當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

則函數(shù)的最小值為，即.

令（），則，

∴在上單調(diào)遞減，

而，∴在上沒有零點(diǎn)，

即當(dāng)時(shí)，方程無解.

綜上，實(shí)數(shù)a的值為.