在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2a，AB=a,AC=a.

(1)求證：平面PCD⊥平面PAC；

(2)求異面直線PC與BD所成角的余弦值；

(3)設(shè)二面角A-PC-B的大小為θ,求tanθ的值.

(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AB＝a，∴CD=a.

又∵AD=2a,AC=a,∴AC2+CD2=AD2.

∴CD⊥AC.

∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA.

∴CD⊥平面PAC.

又∵CD平面PCD,

∴平面PCD⊥平面PAC.

(2)解:如圖所示，連結(jié)AC、BD相交于點(diǎn)O，

則O為AC的中點(diǎn).取PA的中點(diǎn)E，連結(jié)OE，則OE∥PC.故∠BOE(或補(bǔ)角)為異面直線PC與BD所成的角.

連結(jié)BE，在△BOE中，

OE=PC=a,

BE==a,

OB==a.

由余弦定理，得cos∠BOE=.

(3)解:∵AB∥CD,CD⊥平面PAC，

∴AB⊥平面PAC.

過A作AG⊥PC，垂足為G，連結(jié)BG，由三垂線定理知，BG⊥PC，故∠AGB為二面角A-PC-B的平面角，即∠AGB=θ.

在Rt△PAC中，由面積關(guān)系，得AG=a.

在Rt△BAG中，tan∠AGB=.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M，N分別為PC、PB的中點(diǎn)．
（1）求證：PB⊥DM；
（2）求BD與平面ADMN所成角的大�。�
（3）求二面角B-PC-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4．AB=2，AN⊥PC于點(diǎn)N，M是PD中點(diǎn)．
（1）用空間向量證明：AM⊥MC，平面ABM⊥平面PCD．
（2）求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值．
（3）求點(diǎn)N到平面ACM的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，O為底面中心，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB．M是PD的中點(diǎn)
（1）求證：直線MO∥平面PAB；
（2）求證：平面PCD⊥平面ABM．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
2
，∠PAB=60°．
（1）求證：AD⊥平面PAB；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•成都模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且PD⊥平面ABCD，PD=AB=1，EF分別是PB、AD的中點(diǎn)，
（I）證明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B-CE-F的大�。�

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