Question

【題目】已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．

（）若函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍．

（）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上是否有零點(diǎn)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）有

【解析】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒非正，轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)函數(shù)最大值，利用二次求導(dǎo)得導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，即得導(dǎo)函數(shù)最大值，可得的取值范圍．（2）先分離變量得，再利用導(dǎo)數(shù)研究不等式是否恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及零點(diǎn)存在定理可得不等式恒成立.

詳解：解：（）由得，

∴，

即，

∴，

∴，；

∴，

∴在上單調(diào)遞減，

又在上單調(diào)遞減；

∴，

∴，

即實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（）假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，即存在，使得，

即，

記．

①若，則，即，

由于，有，

即證在上恒成立，

令，，

則，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

而，，，

∴在上存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

而，，

∴在上恒成立，即恒成立，

②若，則，即，

由于，有，即證在恒成立，

令，則，，

當(dāng)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)，，單調(diào)遞增，

而，，

∴在上存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，，

故在上成立，即成立，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)．