【題目】已知函數(shù)fx)=lnxtx+t.

1)討論fx)的單調性;

2)當t=2時,方程fx)=max恰有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2,證明:.

【答案】1)當t0時,fx)在(0,+∞)上單調遞增;當t0時,fx)在(0,)上單調遞增,在(,+∞)上單調遞減;(2)證明見解析.

【解析】

(1)求導后分兩種情況討論極值點的大小關系以及導函數(shù)的正負,進而求得原函數(shù)的單調區(qū)間即可.

(2)代入,根據(jù)fx)=max,可得的兩根分別為,再消去化簡得到,再代入所證的,換元令,進而求導分析導數(shù)的正負以及原函數(shù)的單調性即可.

1fx)的定義域為(0,+∞),f′(x,

t0時,f′(x)>0恒成立,fx)在(0,+∞)上單調遞增,

t0時,令f′(x)>0,得0x,令f′(x)<0,得x.

fx)在(0,)上單調遞增,在(,+∞)上單調遞減.

綜上所述,當t0時,fx)在(0,+∞)上單調遞增;

t0時,fx)在(0,)上單調遞增,在(,+∞)上單調遞減.

2)證明:由fx)=max,得lnx+(a2x+2m=0.

gx)=lnx+(a2x+2,則gx1)=gx2)=m.

lnx1+(a2x1=lnx2+(a2x2,

a2.

不妨設0x1x2,要證,

只需證22a,即證.

c1),gc)=2lncc,

g′(c0.

gc)在(1,+∞)上單調遞減,則gc)<g1)=0.

成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某工廠的一臺某型號機器有2種工作狀態(tài):正常狀態(tài)和故障狀態(tài).若機器處于故障狀態(tài),則停機檢修.為了檢查機器工作狀態(tài)是否正常,工廠隨機統(tǒng)計了該機器以往正常工作狀態(tài)下生產的1000個產品的質量指標值,得出如圖1所示頻率分布直方圖.由統(tǒng)計結果可以認為,這種產品的質量指標值服從正態(tài)分布,其中近似為這1000個產品的質量指標值的平均數(shù),近似為這1000個產品的質量指標值的方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表).若產品的質量指標值全部在之內,就認為機器處于正常狀態(tài),否則,認為機器處于故障狀態(tài).

1)下面是檢驗員在一天內從該機器生產的產品中隨機抽取10件測得的質量指標值:

29 45 55 63 67 73 78 87 93 113

請判斷該機器是否出現(xiàn)故障?

2)若機器出現(xiàn)故障,有2種檢修方案可供選擇:

方案一:加急檢修,檢修公司會在當天排除故障,費用為700元;

方案二:常規(guī)檢修,檢修公司會在七天內的任意一天來排除故障,費用為200.

現(xiàn)需決策在機器出現(xiàn)故障時,該工廠選擇何種方案進行檢修,為此搜集檢修公司對該型號機器近100單常規(guī)檢修在第i,2,7)天檢修的單數(shù),得到如圖2所示柱狀圖,將第i天常規(guī)檢修單數(shù)的頻率代替概率.已知該機器正常工作一天可收益200元,故障機器檢修當天不工作,若機器出現(xiàn)故障,該選擇哪種檢修方案?

附:,,.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為萬人,如果年自然增長率為,試解答下列問題:

1)寫出該城市經過年后的人口總數(shù)關于的函數(shù)關系式;

2)用程序流程圖表示計算年以后該城市人口總數(shù)的算法;

3)用程序流程圖表示如下算法:計算大約多少年以后該城市人口將達到萬人.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知,,,,,邊上一點,這里異于.由引邊的垂線是垂足,再由引邊的垂線是垂足,又由引邊的垂線是垂足.同樣的操作連續(xù)進行,得到點,,.設,如圖所示.

1)求的值;

2)某同學對上述已知條件的研究發(fā)現(xiàn)如下結論:,問該同學這個結論是否正確并說明理由;

3)用表示

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】著名數(shù)學家華羅庚先生曾說過:“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微數(shù)形結合百般好,隔裂分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中,我們經常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質,也經常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征,如某體育品牌的LOGO,可抽象為如圖所示的軸對稱的優(yōu)美曲線,下列函數(shù)中,其圖象大致可“完美”局部表達這條曲線的函數(shù)是( )

A.B.

C.D.

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【題目】根據(jù)下列關系式,算出數(shù)列的前4項,然后猜想它的通項,并用數(shù)學歸納法證明你的猜想.

1;

2;

3.

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【題目】已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經如下變換得到:先將圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍橫坐標不變,再將所得到的圖像向右平移個單位長度.

求函數(shù)的解析式,并求其圖像的對稱軸方程;

已知關于的方程內有兩個不同的解

1求實數(shù)m的取值范圍;

2證明:

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【題目】如圖,已知平面平面,,.求:

1所成角;

2與平面所成角;

3)二面角大小.

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【題目】如圖,已知四棱錐中,底面為菱形,平面, 上一點,為菱形對角線的交點.

)證明:平面平面;

)若,四棱錐的體積是四棱錐的體積的,求二面角的正切值.

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