Question

已知函數(shù)x≤0時，f（x）=2^x，x＞0時，f（x）=log

1

3

x，則函數(shù)y=f[f（x）]-1的零點個數(shù)有

3

個．

Answer 1

分析：設(shè)t=f（x），利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=f（t）-1，由f（t）-1=0，分別進(jìn)行判斷．

解答：解：當(dāng)x≤0時，f（x）=2^x∈（0，1]，當(dāng)＞0時，f（x）=log

1

3

x∈R．
設(shè)t=f（x），則y=f[f（x）]-1=f（t）-1，由f（t）-1=0，得f（t）=1．
若t≤0，則由f（t）=1得2^t=1，解得t=0，此時由f（x）=log

1

3

x=0，解得x=1．
若t＞0，則由f（t）=1得log

1

3

t=1，解得t=

1

3

，
此時由f（x）=log

1

3

x=

1

3

，解得x=（

1

3

） 

1

3

=

3	1 3

．
由2x=

1

3

得x=log2

1

3

＜0．
所以x=1或x=

3	1 3

或log2

1

3

．
 故函數(shù)的零點有3個．
故答案為：3．

點評：本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，利用換元法是解決本題的關(guān)鍵，同時注意指數(shù)方程和對數(shù)方程的應(yīng)用，綜合性較強．