Question

【題目】已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)，交拋物線于A、B兩點(diǎn).

（1）若P為中點(diǎn)，求l的方程；

（2）求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）方法一：利用點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦所在直線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果；注意驗(yàn)證所求直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；

方法二：設(shè)中點(diǎn)弦所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求中點(diǎn)弦所在直線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果；注意考慮中點(diǎn)弦直線斜率不存在的情況是否滿足題意；

（2）由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，方法一：設(shè)直線l：，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及二次函數(shù)性質(zhì)求最值，注意比較直線斜率不存在的情況的值；方法二：設(shè)直線l：，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及二次函數(shù)性質(zhì)求最值，此種設(shè)法已包含直線斜率不存在的情況.

解：（1）方法一：設(shè)，，，則，，

，化簡(jiǎn)得，

因?yàn)?/span>的中點(diǎn)為，，

，∴l的方程為，即.

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

方法二：設(shè)，，

當(dāng)斜率不存在時(shí)，顯然不成立.

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：，顯然，

由得

易知，，

因?yàn)?/span>的中點(diǎn)為，，即，

解得，∴l的方程為

（2）方法一：由拋物線的定義可知

當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l：，

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：，顯然，

由得，

易知，

，

時(shí)，的最小值為

綜上，的最小值為

方法二：由拋物線的定義可知

顯然直線l不平行于x軸，設(shè)直線l：，

由得，

易知，，，

時(shí)，的最小值為