Question

我校某班的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如下，據(jù)此解答如下問題.

（1）求全班人數(shù)及分數(shù)在[80,90)之間的頻數(shù)；

（2）估計該班的平均分數(shù)，并計算頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高；

（3）若要從分數(shù)在[80,100]之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況，在抽取的試卷中，求至少有一份分數(shù)在[90,100]之間的概率.

Answer 1

解：（1）由莖葉圖知，分數(shù)在[50,60)之間的頻數(shù)為2，

頻率為0.008×10=0.08    全班人數(shù)=25

 所以分數(shù)在[80,90)之間的頻數(shù)為25-2-7-10-2=4…………3分

（2）分數(shù)在[50,60)之間的總分數(shù)為56+58=114

分數(shù)在[60,70)之間的總分數(shù)為60×7+2+3+3+5+6+8+9=456

分數(shù)在[70,80)之間的總分數(shù)為70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747

分數(shù)在[80,90)之間的總分數(shù)為85×4=340分數(shù)在[90,100]之間的總分數(shù)為95+98=193

所以，該班的平均分數(shù)為……………5分

估計平均分數(shù)時，以下解法也給分：

分數(shù)在[50,60)之間的頻率為=0.08分數(shù)在[60,70)之間的頻率為=0.28

分數(shù)在[70,80)之間的頻率為=0.40分數(shù)在[80,90)之間的頻率為=0.16

分數(shù)在[90,100]之間的頻率為=0.08所以該班的平均分數(shù)約為55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08                      =73.8

所以頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高為÷10=0.016………………8分

（3）將[80,90)之間的4個分數(shù)編號為1,2,3,4，[90,100]之間的2個分數(shù)編號為5,6，

在[80,100]之間的試卷中任取兩份的基本事件為（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6），共15個.

其中，至少有一份在[90,100]之間的基本事件有9個，故至少有一份分數(shù)在[90,100]之間的概率是=0.6…

                                                                              19（1）證明：依題意，知CA＝CC₁，又CD⊥AC₁，所以，D為AC₁的中點，

又F為CC₁的中點，所以，DF∥AC，而AC平面ABC，所以，DF∥平面ABC，

同理可證：EF∥平面ABC，又DFEF＝F，所以，平面DEF∥平面ABC；...(6分）。（2）設AB＝2，則DF＝1，EF＝2，∠DFE＝60°，由余弦定理，求得：DE＝，

又CD＝，CE＝，所以，CD²＋DE²＝CE²，所以，CD⊥DE，

又CD⊥AC₁，DE＝D，所以，CD⊥平面AEC₁。