已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn), 焦點(diǎn)為F(0, 1).

(Ⅰ) 求拋物線C的方程;

(Ⅱ) 在拋物線C上是否存在點(diǎn)P, 使得過點(diǎn)P的直

線交C于另一點(diǎn)Q, 滿足PF⊥QF, 且PQ與C

在點(diǎn)P處的切線垂直? 若存在, 求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

若不存在, 請(qǐng)說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析

幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。

(Ⅰ) 解: 設(shè)拋物線C的方程是x2 = ay,

則,

即a = 4.

故所求拋物線C的方程為x2 = 4y .            …………………(5分)

(Ⅱ) 解: 設(shè)P(x1, y1), Q(x2, y2),

則拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程是

,

直線PQ的方程是

.

將上式代入拋物線C的方程, 得

,

故 x1+x2 =, x1x2 =－y1 ,

所以 x2=－x1 , y2=+y1+4 .

而＝(x1, y), ＝(x2 , y) ,

×＝x1 x2＋(y) (y)

＝x1 x2＋y1 y2－(y1＋y2)＋1

＝－4(2+y1)+ y1(+y1+4)－(+2y1+4)+1

＝－2y1 －－7

＝(＋2y1＋1)－4(+y1+2)

＝(y1＋1)2－

＝

＝0,

故 y1＝4, 此時(shí), 點(diǎn)P的坐標(biāo)是(±4,4) .

經(jīng)檢驗(yàn), 符合題意.

所以, 滿足條件的點(diǎn)P存在, 其坐標(biāo)為P(±4,4). …………………(15分)

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（0，1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）在拋物線C上是否存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的直線交C于另一點(diǎn)Q，滿足PF⊥QF，且PQ與C在點(diǎn)P處的切線垂直？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•溫州一模）已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（0，1），且過點(diǎn)A（2，t），
（I）求t的值；
（II）若點(diǎn)P、Q是拋物線C上兩動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與AQ的斜率互為相反數(shù)，試問直線PQ的斜率是否為定值，若是，求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(
1
2
，0)．（1）求拋物線C的方程； （2）已知直線y=k(x+
1
2
) 與拋物線C交于A、B 兩點(diǎn)，且|FA|=2|FB|，求k 的值； （3）設(shè)點(diǎn)P 是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R、N 在y 軸上，圓（x-1）2+y2=1 內(nèi)切于△PRN，求△PRN 的面積最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F（1，0）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）命題：“過拋物線C的焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的任意直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則
|AB||FM|
為定值，且定值是2”．判斷它是真命題還是假命題，并說明理；
（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關(guān)于拋物線的一般性命題（注，不必證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且焦點(diǎn)F（2，0）．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l過焦點(diǎn)F與拋物線C相交與M，N兩點(diǎn)，且|MN|=16，求直線l的傾斜角．

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