Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，A1A=AB=6，D為AC中點(diǎn)．

（1）求三棱錐C1﹣BCD的體積；

（2）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A1；

（3）求證：直線AB1∥平面BC1D．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）先根據(jù)△ABC為正三角形，D為AC中點(diǎn)，得到BD⊥AC，求出△BCD的面積；再根據(jù)C1C⊥底面ABC，根據(jù)體積公式求出三棱錐C1-BCD的體積；

（2）先根據(jù)A1A⊥底面ABC，得到A1A⊥BD，再結(jié)合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1．即可證平面BC1D⊥平面ACC1A1；

（3）連接B1C交BC1于O，連接OD，根據(jù)D為AC中點(diǎn)，O為B1C中點(diǎn)可得OD∥AB1，即可證：直線AB1∥平面BC1D．

（1）∵△ABC為正三角形，D為AC中點(diǎn)，∴BD⊥AC，

由AB=6可知，CD＝3，BD＝ ，∴S△BCD＝CDBD＝.

又∵A1A⊥底面ABC，且A1A=AB=6，∴C1C⊥底面ABC，且C1C=6，

∴VC1BCD＝S△BCDC1C＝

（2）∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BD．

又BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC1A1．

又BD平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1．

（3）連接B1C交BC1于O，連接OD，

在△B1AC中，D為AC中點(diǎn)，O為B1C中點(diǎn)，所以O(shè)D∥AB1，

又OD平面BC1D，∴直線AB1∥平面BC1D．