Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是側(cè)棱CC₁上的一點(diǎn)，CP=m．
（1）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3

2

；
（2）在線段A₁C₁上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）連AC，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，AP與平面BDD₁B₁相交于點(diǎn)，連接OG，證明AO⊥平面BDD₁B₁，說明∠AGO是AP與平面BDD₁B₁所成的角．在Rt△AOG中，利用直線AP與平面BDD₁B₁所成的角的正切值為3

2

．求出m的值．
（2）點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是A_IC_I的中點(diǎn)，使得對任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，通過證明 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，D₁O₁⊥AP．利用三垂線定理推出結(jié)論．

解答：解：（1）連AC，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，AP與平面BDD₁B₁相交于點(diǎn)G，
連接OG，因?yàn)镻C∥平面BDD₁B₁，平面BDD₁B₁∩平面APC=OG，
故OG∥PC，所以，OG=

1

2

PC=

m

2

．
又AO⊥BD，AO⊥BB₁，所以AO⊥平面BDD₁B₁，
故∠AGO是AP與平面BDD₁B₁所成的角．
在Rt△AOG中，tan∠AGO=

OA

GO

=

2 2

m 2

=3

2

，即m=

1

3

．
所以，當(dāng)m=

1

3

時(shí)，直線AP與平面BDD₁B₁所成的角的正切值為3

2

．
（2）可以推測，點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是A_IC_I的中點(diǎn)，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)
因?yàn)镈₁O₁⊥A₁C₁，且 D₁O₁⊥A₁A，A₁C₁∩A₁A=A₁，
所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，
又AP?平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP．
那么根據(jù)三垂線定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影與AP垂直．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面所成的角，考查直線與平面垂直的判定，三垂線定理的應(yīng)用，考查空間想象能力，邏輯推理能力．