Question

（2007•湛江二模）有一個(gè)翻硬幣游戲，開始時(shí)硬幣正面朝上，然后擲骰子根據(jù)下列①、②、③的規(guī)則翻動(dòng)硬幣：①骰子出現(xiàn)1點(diǎn)時(shí)，不翻動(dòng)硬幣；②出現(xiàn)2，3，4，5點(diǎn)時(shí)，翻動(dòng)一下硬幣，使另一面朝上；③出現(xiàn)6點(diǎn)時(shí)，如果硬幣正面朝上，則不翻動(dòng)硬幣；否則，翻動(dòng)硬幣，使正面朝上．按以上規(guī)則，在骰子擲了n次后，硬幣仍然正面朝上的概率記為P_n．
（Ⅰ）求證：?n∈N^*，點(diǎn)（P_n，P_n+1）恒在過(guò)定點(diǎn)（

5

9

，

5

9

），斜率為-

1

2

的直線上；
（Ⅱ）求數(shù)列{P_n}的通項(xiàng)公式P_n；
（Ⅲ）用記號(hào)S_n→m表示數(shù)列{Pn-

5

9

}從第n項(xiàng)到第m項(xiàng)之和，那么對(duì)于任意給定的正整數(shù)k，求數(shù)列S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）把骰子擲了n+1次，硬幣仍然正面朝上的概率為P_n+1，此時(shí)有兩種情況：第n次硬幣正面朝上，其概率為P_n，且第n+1次骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)，硬幣不動(dòng)；第n次硬幣反面朝上，其概率為1-P_n，且第n+1次骰子出現(xiàn)2，3，4，5點(diǎn)或6點(diǎn)，求出相應(yīng)的概率，即可得出結(jié)論；
（II）確定{Pn-

5

9

}是首項(xiàng)為P1-

5

9

=

1

3

-

5

9

=-

2

9

，公比為-

1

2

的等比數(shù)列，即可求數(shù)列的通項(xiàng)；
（III）解法一：確定S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…，也成等比數(shù)列，從而可求和；
解法二：T_n=S_1→k+S_k+1→2k+…+S_{（n-1）k+1→nk}=a₁+a₂+…+a_nk，可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：設(shè)把骰子擲了n+1次，硬幣仍然正面朝上的概率為P_n+1，此時(shí)有兩種情況：
①第n次硬幣正面朝上，其概率為P_n，且第n+1次骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)，硬幣不動(dòng)，其概率為

2

6

=

1

3

，
因此，此種情況下產(chǎn)生硬幣正面朝上的概率為

1

3

Pn．…（3分）
②第n次硬幣反面朝上，其概率為1-P_n，且第n+1次骰子出現(xiàn)2，3，4，5點(diǎn)或6點(diǎn)，其概率為

5

6

，
因此，此種情況下產(chǎn)生硬幣正面朝上的概率為

5

6

(1-Pn)．
∴Pn+1=

1

3

Pn+

5

6

(1-Pn)，變形得 Pn+1-

5

9

=-

1

2

( Pn-

5

9

 )．
∴點(diǎn)（P_n，P_n+1）恒在過(guò)定點(diǎn)（

5

9

，

5

9

），斜率為-

1

2

的直線上．…（6分）
（Ⅱ）解：P₀=1，P1=

1

3

P0+

5

6

(1-P0)=

1

3

，
又由（Ⅰ）知：

Pn+1- 5 9

Pn- 5 9

=-

1

2

，
∴{Pn-

5

9

}是首項(xiàng)為P1-

5

9

=

1

3

-

5

9

=-

2

9

，公比為-

1

2

的等比數(shù)列，…（8分）
∴Pn-

5

9

=-

2

9

•(-

1

2

)n-1，
故所求通項(xiàng)公式為Pn=

5

9

+

(-1)n

9•2n-2

．…（10分）
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{Pn-

5

9

}是首項(xiàng)為a1=P1-

5

9

=-

2

9

，公比為q=-

1

2

的等比數(shù)列，又
∵

Snk+1→(n+1)k

S(n-1)k+1→nk

=

a1qnk(1+q+…+qk-1)

a1q(n-1)k(1+q+…+qk-1)

=qk（k∈N^*）是常數(shù)，
∴S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…，也成等比數(shù)列，…（12分）
且S1→k=

- 2 9 [1-(- 1 2 )k]

1+ 1 2

=-

4

27

[1-(-

1

2

)k]
從而 Tn=

S1→k(1-qkn)

1-qk

=

- 4 27 [1-(- 1 2 )k]•[1-(- 1 2 )kn]

1-(- 1 2 )k

=-

4

27

[1-(-

1

2

)kn]．…（14分）
解法二：T_n=S_1→k+S_k+1→2k+…+S_{（n-1）k+1→nk}=a₁+a₂+…+a_nk=

- 2 9 [1-(- 1 2 )nk]

1+ 1 2

=-

4

27

[1-(-

1

2

)nk]．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．