Question

已知a、b、c為三角形ABC中角A、B、C的對邊，且a²-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，求這個三角形的最大內(nèi)角．

Answer 1

分析：先將b、c用a表示，然后判定a、b、c的大小，根據(jù)大邊對大角，最后根據(jù)余弦定理求出最大內(nèi)角即可．

解答：解：因為a²-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，所以a²-a-2b-（a+2b+3）=0
所以b=

1

4

(a2-2a-3)=

1

4

(a-3)(a+1)，c=

1

4

(a2+3)------------（3分）
因為b＞0，所以a²-2a-3＞0，所以a＞3，------------（5分）
所以b-c=-

1

2

(a+3)＜0，
即b＜c   ①--------（7分）
又c-a=

1

4

(a2-4a+3)=

1

4

(a-3)(a-1)＞0，
所以c＞a   ②．由①②可得c邊最大．---------（8分）
在三角形ABC中，有余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+(b+c)(b-c)

2ab

=

- 1 4 a(a-3)(a+1)

1 2 a(a-3)(a+1)

=-

1

2

所以C=120°，即三角形的最大內(nèi)角為120⁰---------（11分）

點評：本題主要考查了三角形的邊角關系，余弦定理以及特殊角的三角函數(shù)值，利用作差的方法得到c為最大邊是解題的關鍵，同時考查了利用了消元的思想，屬于中檔題．