Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1-x2   x∈[0，1] 1 x      x∈[1，e]

（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則

∫

e 0

f(x)dx的值為（　　）

• A．

  π

  2

  +1
• B．

  π

  2

  -1
• C．

  π

  4

  +1
• D．

  π

  4

  -1

Answer 1

分析：根據(jù)題意，題中的積分等于函數(shù)y=

1-x2

在區(qū)間[0，1]上的積分值與函數(shù)y=

1

x

區(qū)間[1，e]上的積分值的和，由此結(jié)合定積分的幾何意義和計算公式，即可算出所求積分的值．

解答：解：根據(jù)題意，得

∫

e 0

f(x)dx=

∫

1 0

1-x2

dx+

∫

e 1

1

x

dx
∵根據(jù)定積分的幾何意義，可得

∫

1 0

1-x2

dx等于單位圓x²+y²=1，
位于第一象限部分扇形的面積
∴

∫

1 0

1-x2

dx=

1

4

π×12=

π

4

又∵

∫

e 1

1

x

dx=ln

x|

e 1

=（lne-ln1）=1
∴

∫

e 0

f(x)dx=

∫

1 0

1-x2

dx+

∫

e 1

1

x

dx=

π

4

+1
故選：C

點評：本題求一個分段函數(shù)的定積分之值，著重考查了定積分的幾何意義和積分計算公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．