Question

給出集合A={-2，-1，，，，1，2，3}。已知a∈A，使得冪函數(shù)為奇函數(shù)，指數(shù)函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上為增函數(shù)。
（1）試寫出所有符合條件的a，說明理由；
（2）判斷f(x)在(0，+∞)的單調(diào)性，并證明；
（3）解方程：f[g(x)]=g[f(x)]。

Answer 1

（1）a=3
（2）f(x)=x³在(0，+∞)上為增函數(shù)
（3）x₁=0，x₂=，x₃=

解：（1）指數(shù)函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上為增函數(shù)，∴a>1，∴a只可能為2或3。而當(dāng)a=2時，冪函數(shù)f(x)=x²為偶函數(shù)，只有當(dāng)a=3時，冪函數(shù)f(x)=x³為奇函數(shù)故a=3…３分
（2）f(x)=x³在(0，+∞)上為增函數(shù)。                             
證明：在(0，+∞)上任取x₁，x₂，x₁<x₂，
f(x₁)-f(x₂)==，
∵x₁<x₂，∴x₁-x₂<0，>0，∴f(x₁)-f(x₂)>0，∴f(x₁)>f(x₂)。
∴f(x)=x³在(0，+∞)上為增函數(shù)。                                    …８分
（3）　　　　　　　　　　�。�．．．１０分
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得3x=x³，∴x₁=0，x₂=，x₃=。          …1２分