Question

已知⊙M：x²+（y-2）²=1，Q是x軸上的動點，QA、QB分別切⊙M于A、B兩點．
（1）如果，求直線MQ的方程；
（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據P是AB的中點，可求得|MP|，進而利用射影定理可知|MB|²=|MP|•|MQ|求得|MQ|，進而利用勾股定理在Rt△MOQ中，求得|OQ|則Q點的坐標可得，進而可求得MQ的直線方程．
（2）連接MB，MQ，設P（x，y），Q（a，0），點M、P、Q在一條直線上，利用斜率相等建立等式，進而利用射影定理|MB|²=|MP|•|MQ|，聯(lián)立消去a，求得x和y的關系式，根據圖形可知y＜2，排除．進而可求得動弦AB的中點P的軌跡方程．
解答：解：（1）由P是AB的中點，|AB|=，
可得|MP|=．
由射影定理，得|MB|²=|MP|•|MQ|，得|MQ|=3．
在Rt△MOQ中，|OQ|=．
故Q點的坐標為（，0）或（，0）．
所以直線MQ的方程是或．
（2）連接MB，MQ，設P（x，y），Q（a，0），點M、P、Q在一條直線上，
得．①
由射影定理，有|MB|²=|MP|•|MQ|，
即．②
由①及②消去a，可得和．
又由圖形可知y＜2，
因此舍去．
因此所求的軌跡方程為（y＜2）．
點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系，求軌跡方程問題．解題過程中靈活利用了射影定理．