Question

【題目】如圖， 是圓柱的上、下底面圓的直徑， 是邊長(zhǎng)為2的正方形， 是底面圓周上不同于兩點(diǎn)的一點(diǎn)， .

(1)求證： 平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得， ，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面的法向量可得二面角的余弦值是．

試題解析：

(1)由圓柱性質(zhì)知： 平面，

又平面，∴，

又是底面圓的直徑， 是底面圓周上不同于兩點(diǎn)的一點(diǎn)，∴，

又， 平面，

∴平面.

(2)解法1：過(guò)作，垂足為，由圓柱性質(zhì)知平面平面，

∴平面，又過(guò)作，垂足為，連接，

則即為所求的二面角的平面角的補(bǔ)角，

， 易得， ， ，

∴，

由(1)知，∴，

∴，∴，

∴所求的二面角的余弦值為.

解法2：過(guò)在平面作，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

∵， ，∴，∴， ， ，

∴， ，

平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，

，即，取，

∴，

∴所求的二面角的余弦值為.

解法3：如圖，以為原點(diǎn)， 分別為軸， 軸，圓柱過(guò)點(diǎn)的母線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

， ， ， ， ，

∴， ， ， ，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則， ，即，令，則， ，

∴， ，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則， ，即，令，則， .

∴， ，

∴，

∴所求的二面角的余弦值為.

解法4：由(1)知可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

∵， ，∴，∴， ， ， ，

∴， ， ， ，

設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，

∴， ，

即， ，

，取，

∴.

∴所求的二面角的余弦值為.