Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA=PC=5，PB=4，AB=BC=2 ，∠ACB=30°，PA=PC=5，PB=4，AB=BC=2 ，∠ACB=30°．

（1）求證：AC⊥PB；
（2）求三棱錐P﹣ABC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AC的中點(diǎn)D，連接PD、BD．

∵AB=BC，PA=AC，D為AC的中點(diǎn)，

∴PD⊥AC，BD⊥AC，

又BD平面PBD，PD平面PBD，BD∩PD=D，

∴AC⊥平面PBD．

∵PB平面PBD，

∴AC⊥PB

（2）解：VP﹣ABC=VP﹣ABD+VP﹣BCD=VA﹣PBD+VC﹣PBD

在△ABC中，AB=BC，∠ACB=30°，D是AC中點(diǎn)

∴ ，AD=DC=3在△PCD中，PD⊥DC，PC=5，DC=3，∴PD=4

∴ ，

VA﹣PBD= ×S△PBD×AD= × = ，

又 ，

∴

【解析】（1）取AC的中點(diǎn)D，連接PD、BD，利用三線(xiàn)合一得出PD⊥AC，BD⊥AC，于是AC⊥平面PBD，從而得出AC⊥PB；（2）計(jì)算AC，PD從而得出PB=PD，求出△PBD的面積，則VP﹣ABC= S△PBDAC．求解即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行．