Question

【題目】湖北七市州高三5月23日聯(lián)考后，從全體考生中隨機(jī)抽取44名，獲取他們本次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)，繪制成如圖散點(diǎn)圖：

根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，但圖中有兩個(gè)異常點(diǎn)．經(jīng)調(diào)查得知，考生由于重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常，考生因故未能參加物理考試．為了使分析結(jié)果更科學(xué)準(zhǔn)確，剔除這兩組數(shù)據(jù)后，對(duì)剩下的數(shù)據(jù)作處理，得到一些統(tǒng)計(jì)的值：其中，分別表示這42名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)、物理成績(jī)，，2，…，42，與的相關(guān)系數(shù)．

（1）若不剔除兩名考生的數(shù)據(jù)，用44組數(shù)據(jù)作回歸分析，設(shè)此時(shí)與的相關(guān)系數(shù)為．試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；

（2）求關(guān)于的線性回歸方程，并估計(jì)如果考生參加了這次物理考試（已知考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>125分），物理成績(jī)是多少？

（3）從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律看，本次考試七市州的物理成績(jī)服從正態(tài)分布，以剔除后的物理成績(jī)作為樣本，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本方差作為的估計(jì)值．試求七市州共50000名考生中，物理成績(jī)位于區(qū)間（62.8，85.2）的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．

附：①回歸方程中：

②若，則

③

Answer 1

【答案】（1），理由詳見解析；（2），81分；（3）34135．

【解析】

（1）根據(jù)正相關(guān)關(guān)系可判斷，理由可從偏差大小與相關(guān)系數(shù)大小關(guān)系分析；

（2）先計(jì)算均值，再代入公式求，即得線性回歸方程，最后令，求出值即為估計(jì)值；

（3）先確定區(qū)間（62.8，85.2）為，即可得對(duì)應(yīng)概率，再根據(jù)二項(xiàng)分布公式可得數(shù)學(xué)期望.

【解】（1）．理由如下（任寫一條或幾條即可）：由圖可知，與成正相關(guān)關(guān)系，

①異常點(diǎn)會(huì)降低變量之間的線性相關(guān)程度．

②44個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回歸直線的總偏差更大，回歸效果更差，所以相關(guān)系數(shù)更�。�

③42個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回歸直線的總偏差更小，回歸效果更好，所以相關(guān)系數(shù)更大．

④42個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)更貼近其回歸直線．

⑤44個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回歸直線更離散

（2）由題中數(shù)據(jù)可得：，

所以

又因?yàn)?/span>，所以，

，所以，

將代入，得，

所以估計(jì)同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?/span>81

（3），

所以，又為

所以

因?yàn)?/span>，所以，

即物理成績(jī)位于區(qū)間（62.8，85.2）的的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為34135．