【題目】已知橢圓的右焦點為,且點在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過橢圓上異于其頂點的任意一點Q作圓的兩條切線,切點分別為不在坐標(biāo)軸上),若直線在x軸,y軸上的截距分別為,證明:為定值;
(3)若是橢圓上不同兩點,軸,圓E過,且橢圓上任意一點都不在圓E內(nèi),則稱圓E為該橢圓的一個內(nèi)切圓,試問:橢圓是否存在過焦點F的內(nèi)切圓?若存在,求出圓心E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3).
【解析】
(1)由焦點坐標(biāo)確定出c的值,根據(jù)橢圓的性質(zhì)列出a與b的方程,再將P點坐標(biāo)代入橢圓方程列出關(guān)于a與b的方程,聯(lián)立求出a與b的值,確定出橢圓方程即可.
(2)由題意:確定出C1的方程,設(shè)點P(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),根據(jù)M,N不在坐標(biāo)軸上,得到直線PM與直線OM斜率乘積為﹣1,確定出直線PM的方程,同理可得直線PN的方程,進而確定出直線MN方程,求出直線MN與x軸,y軸截距m與n,即可確定出所求式子的值為定值.
(3)依題意可得符合要求的圓E,即為過點F,P1,P2的三角形的外接圓.所以圓心在x軸上.根據(jù)題意寫出圓E的方程.由于圓的存在必須要符合,橢圓上的點到圓E距離的最小值是|P1E|,結(jié)合圖形可得圓心E在線段P1P2上,半徑最小.又由于點F已知,即可求得結(jié)論.
(1)∵橢圓C:的右焦點為F(1,0),且點P(1,)在橢圓C上;
∴,解得a=2,b=,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)由題意:C1:,
設(shè)點P(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),
∵M,N不在坐標(biāo)軸上,∴kPM=﹣=﹣,
∴直線PM的方程為y﹣y2=﹣(x﹣x2),
化簡得:x2x+y2y=,①,
同理可得直線PN的方程為x3x+y3y=,②,
把P點的坐標(biāo)代入①、②得,
∴直線MN的方程為x1x+y1y=,
令y=0,得m=,令x=0得n=,
∴x1=,y1=,
又點P在橢圓C1上,
∴()2+3()2=4,
則=為定值.
(3)由橢圓的對稱性,可以設(shè)P1(m,n),P2(m,﹣n),點E在x軸上,設(shè)點E(t,0),
則圓E的方程為:(x﹣t)2+y2=(m﹣t)2+n2,
由內(nèi)切圓定義知道,橢圓上的點到點E距離的最小值是|P1E|,
設(shè)點M(x,y)是橢圓C上任意一點,則|ME|2=(x﹣t)2+y2=,
當(dāng)x=m時,|ME|2最小,∴m=﹣,③,
又圓E過點F,∴(﹣)2=(m﹣t)2+n2,④
點P1在橢圓上,∴,⑤
由③④⑤,解得:t=﹣或t=﹣,
又t=﹣時,m=﹣<﹣2,不合題意,
綜上:橢圓C存在符合條件的內(nèi)切圓,點E的坐標(biāo)是(﹣,0).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lg ,f(1)=0,當(dāng)x>0時,恒有f(x)=lgx.
(1)若不等式f(x)≤lgt的解集為A,且A(0,4],求實數(shù)t的取值范圍;
(2)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集為,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】函數(shù)對任意的滿足:,當(dāng)時,
(1)求出函數(shù)在R上零點;
(2)求滿足不等式的實數(shù)的范圍.
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【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元。設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和。
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表達式。
(Ⅱ)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值。
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【題目】2019年11月18日國際射聯(lián)步手槍世界杯總決賽在莆田市綜合體育館開幕,這是國際射聯(lián)步手槍世界杯總決賽時隔10年再度走進中國.為了增強趣味性,并實時播報現(xiàn)場賽況,我,F(xiàn)場小記者李明和播報小記者王華設(shè)計了一套播報轉(zhuǎn)碼法,發(fā)送方由明文→密文(加密),接受方由密文→明文(解密),已知加密的方法是:密碼把英文的明文(真實文)按字母分解,其中英文的的26個字母(不論大小寫)依次對應(yīng)1,2,3,…,26這26個自然數(shù)通過變換公式:,將明文轉(zhuǎn)換成密文,如,即變換成,即變換成.若按上述規(guī)定,若王華收到的密文是,那么原來的明文是( )
A.B.C.D.
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【題目】已知橢圓:的離心率為,點A為該橢圓的左頂點,過右焦點的直線l與橢圓交于B,C兩點,當(dāng)軸時,三角形ABC的面積為18.
求橢圓的方程;
如圖,當(dāng)動直線BC斜率存在且不為0時,直線分別交直線AB,AC于點M、N,問x軸上是否存在點P,使得,若存在求出點P的坐標(biāo);若不存在說明理由.
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【題目】每年六、七月份,我國長江中下游地區(qū)進入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié),如圖是江南某地區(qū)年10年間梅雨季節(jié)的降雨量單位:的頻率分布直方圖,試用樣本頻率估計總體概率,解答下列問題:
假設(shè)每年的梅雨季節(jié)天氣相互獨立,求該地區(qū)未來三年里至少有兩年梅雨季節(jié)的降雨量超過350mm的概率.
老李在該地區(qū)承包了20畝土地種植楊梅,他過去種植的甲品種楊梅,平均每年的總利潤為28萬元而乙品種楊梅的畝產(chǎn)量畝與降雨量之間的關(guān)系如下面統(tǒng)計表所示,又知乙品種楊梅的單位利潤為元,請你幫助老李分析,他來年應(yīng)該種植哪個品種的楊梅可以使總利潤萬元的期望更大?并說明理由.
降雨量 | ||||
畝產(chǎn)量 | 500 | 700 | 600 | 400 |
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【題目】自由購是一種通過自助結(jié)算購物的形式.某大型超市為調(diào)查顧客自由購的使用情況,隨機抽取了100人,調(diào)查結(jié)果整理如下:
20以下 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] | 70以上 | |
使用人數(shù) | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人數(shù) | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(1)現(xiàn)隨機抽取1名顧客,試估計該顧客年齡在[30,50)且未使用自由購的概率;
(2)從被抽取的年齡在[50,70]使用的自由購顧客中,隨機抽取2人進一步了解情況,求這2人年齡都在[50,60)的概率;
(3)為鼓勵顧客使用自由購,該超市擬對使用自由購顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該超市預(yù)計有5000人購物,試估計該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個環(huán)保購物袋?
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