Question

【題目】已知向量 =（3，﹣1），| |= ， =﹣5， =x +（1﹣x） ．
（Ⅰ）若 ，求實(shí)數(shù)x的值；
（Ⅱ）當(dāng)| |取最小值時(shí)，求 與 的夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè) =（m，n），
∴ ，
解得 或 ，
當(dāng) =（﹣1，2）時(shí)，
∴ =x（3，﹣1）+（1﹣x）（﹣1，2）=（4x﹣1，2﹣3x），
∵ ，
∴3（4x﹣1）﹣（2﹣3x）=0，
解得x= ，
當(dāng) =（﹣2，﹣1）時(shí)，
∴ =x（3，﹣1）+（1﹣x）（﹣2，﹣1）=（5x﹣2，﹣1），
∵ ，
∴3（5x﹣2）+1=0，
解得x= ，
（Ⅱ）設(shè) 與 的夾角θ
由（Ⅰ）可知，當(dāng) =（﹣1，2）時(shí)， =（4x﹣1，2﹣3x），
則| |2=（4x﹣1）2+（2﹣3x）2=25x2﹣20x+5=25（x﹣ ）2+1，
當(dāng)x= 時(shí)，| |取最小值，則| |=1， =（ ， ），
∴ =﹣ + =1，| |=
∴cosθ= =
當(dāng) =（﹣2，﹣1）時(shí)， =（5x﹣2，﹣1），
則| |2=（5x﹣2）2+（﹣1）2=25（x﹣ ）2+1，
當(dāng)x= 時(shí)，| |取最小值，則| |=1， =（0，﹣1），
∴ =1，| |=
∴cosθ= =
【解析】（Ⅰ）根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的模，先求出 ，再根據(jù)向量的垂直即可求出x的值，（Ⅱ）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出x的值，再根據(jù)向量的夾角公式即可求出．