【題目】已知函數(shù),

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)設(shè)函數(shù),若上存在極值,求的取值范圍,并判斷極值的正負(fù).

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)當(dāng)時(shí),上存在極值,且極值都為正數(shù)

【解析】分析:(1)先求導(dǎo),再對(duì)a分類(lèi)討論得到函數(shù)的單調(diào)性.(2)先求導(dǎo),

再構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)上的極值情況,求的取值范圍,并判斷極值的正負(fù).

詳解:(1)定義域?yàn)?/span>,

①當(dāng)時(shí),上恒成立,所以上單調(diào)遞增;

②當(dāng)時(shí),令,得,

∴當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.

綜上所述,當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

(2),,

設(shè),則,

,得,

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

,,

顯然

結(jié)合圖象可知,若上存在極值,則

解得

①當(dāng)時(shí),

則必定,使得,且,

當(dāng)變化時(shí),,,的變化情況如表:

極小值

極大值

∴當(dāng)時(shí),上的極值為,,且,

設(shè),其中

,∴上單調(diào)遞增,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 

,∴

∴當(dāng)時(shí),上的極值.

②當(dāng)時(shí),

則必定,使得,

易知上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

此時(shí),上的極大值是,且,

∴當(dāng)時(shí),上存在極值,且極值都為正數(shù),

綜上所述,當(dāng)時(shí),上存在極值,且極值都為正數(shù).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)

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A. B. C. D.

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A. B. C. D.

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(1)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為性別與是否為類(lèi)學(xué)生有關(guān)系?

類(lèi)

類(lèi)

合計(jì)

110

50

合計(jì)

(2)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中類(lèi)學(xué)生的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列、期望和方差.

參考公式:,其中.

參考臨界值:

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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