【題目】已知f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=3,若a,b∈[﹣1,1],a+b≠0時(shí),有>0成立.
(1)判斷f(x)在[﹣1,1]上的單調(diào)性,并證明;
(2)解不等式:f(x+)<f();
(3)若當(dāng)a∈[﹣1,1]時(shí),f(x)≤m2﹣2am+3對(duì)所有的x∈[﹣1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】解:(1)任取x1 , x2∈[﹣1,1],且x1<x2 , 則﹣x2∈[﹣1,1],
∵f(x)為奇函數(shù),
∴f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)=(x1﹣x2),
由已知得,x1﹣x2<0,∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在[﹣1,1]上單調(diào)遞增.
(2)∵f(x)在[﹣1,1]上單調(diào)遞增,∴,解得-≤x<﹣1,
∴不等式的解集為{x|﹣≤x<﹣1}.
(3)∵f(1)=3,f(x)在[﹣1,1]上單調(diào)遞增,
∴在[﹣1,1]上,f(x)≤3,即m2﹣2am+3≥3,
∴m2﹣2am≥0對(duì)a∈[﹣1,1]恒成立,求m的取值范圍.
設(shè)g(a)=﹣2ma+m2≥0,
①若m=0,則g(a)=0≥0,自然對(duì)a∈[﹣1,1]恒成立.
②若m≠0,則g(a)為a的一次函數(shù),若g(a)≥0對(duì)a∈[﹣1,1]恒成立,
則必須g(﹣1)≥0,且g(1)≥0,∴m≤﹣2或m≥2.
∴m的取值范圍是m=0或m≤﹣2或m≥2.
【解析】(1)任取x1 , x2∈[﹣1,1],且x1<x2 , 由奇函數(shù)的定義將f(x1)﹣f(x2)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用所給的條件判斷出f(x1)<f(x2)即可;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論和增函數(shù)的定義,以及函數(shù)的定義域,列出不等式組求出x的范圍;
(3)根據(jù)(1)的結(jié)論和條件,將問題轉(zhuǎn)化為m2﹣2am+3≥3,即m2﹣2am≥0對(duì)a∈[﹣1,1]恒成立,再構(gòu)造函數(shù)g(a)=﹣2ma+m2 , 即g(a)≥0對(duì)a∈[﹣1,1]恒成立,求m的取值范圍,需對(duì)m進(jìn)行分類討論求出此函數(shù)的最小值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí),掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大小;③作差比較或作商比較,以及對(duì)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的理解,了解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)時(shí),證明: .

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【題目】如圖所示的“8”字形曲線是由兩個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的半圓和一個(gè)雙曲線的一部分組成的圖形,其中上半個(gè)圓所在圓方程是x2+y2﹣4y﹣4=0,雙曲線的左、右頂
點(diǎn)A、B是該圓與x軸的交點(diǎn),雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點(diǎn).
(1)試求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)記雙曲線的左、右焦點(diǎn)為F1、F2 , 試在“8”字形曲線上求點(diǎn)P,使得
∠F1PF2是直角.

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【題目】理科競(jìng)賽小組有9名女生、12名男生,從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本進(jìn)行分析.

(Ⅰ)如果按照性別比例分層抽樣,可以得到多少個(gè)不同的樣本?(寫出算式即可)

(Ⅱ)如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的物理、化學(xué)成績(jī)(單位:分)對(duì)應(yīng)如表:

學(xué)生序號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

物理成績(jī)

65

70

75

81

85

87

93

化學(xué)成績(jī)

72

68

80

85

90

86

91

規(guī)定85分以上(包括85份)為優(yōu)秀,從這7名同學(xué)中再抽取3名同學(xué),記這3名同學(xué)中物理和化學(xué)成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知
(1)求的值;
(2)當(dāng)x∈(﹣t,t](其中t∈(﹣1,1),且t為常數(shù))時(shí),f(x)是否存在最小值,如果存在求出最小值;如果不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)當(dāng)f(x﹣2)+f(4﹣3x)≥0時(shí),求滿足不等式f(x﹣2)+f(4﹣3x)≥0的x的范圍.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx,(k∈R)為偶函數(shù).
(1)求k的值;
(2)若方程f(x)=log4(a2x﹣a)有且只有一個(gè)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)

(1)若,且上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍

(2)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)上的最小值為?若存在,求出實(shí)數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】方程(x+y﹣1)=0所表示的曲線是

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【題目】已知向量=(2,0), =(1,4).

(Ⅰ)若向量k+2平行,求實(shí)數(shù)k的值;

(Ⅱ)若向量k+2的夾角為銳角,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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