Question

已知定義在R上的單調函數f（x），存在實數x，使得對于任意實數x₁，x₂，總有f（xx₁+xx₂）=f（x）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x的值；
（2）若f（x）=1，且對于任意正整數n，有，記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比較與T_n的大小關系，并給出證明；
（3）在（2）的條件下，若不等式對任意不小于2的正整數n都成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別令x₁=x₂=0，x₁=1，x₂=0，f（x）=f（1），又因為f（x）為單調函數，從而可求x的值；
（2）由（1）得f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，令x₁=n，x₂=1，f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，f（n）=2n-1．故可求a_n進而可有 ，從而可求通項，故可證；
 （3）構造函數F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，證明n≥2時，為單調減函數，從而可求x的取值范圍．
解答：解：（1）令x₁=x₂=0⇒f（x）=-f（0）．又令x₁=1，x₂=0，f（1）=-f（0）．
∴f（x）=f（1），由函數f（x）單調性知，x=1．
（2）由（1）知，f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+f（1）=f（x₁）+f（x₂）+1，
由x₁，x₂的任意性，令x₁=n，x₂=1，f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，
∴f（n）=2n-1．（n∈N^*）．
∴．
又∵．
又∵，
∴．
∴．
由數列求和方法知：，．∴．
∵4ⁿ=（3+1）ⁿ=C_nⁿ3ⁿ+C_n^n-13^n-1+…+C_n¹3+C_n≥3n+1＞2n+1，∴．
（3）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n⇒F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1=（通分易證）∴當n≥2時，．
∴．
解此不等式，所以x的取值范圍為．
點評：本題以新定義為載體，考查抽象函數，考查賦值法，同時考查構造函數，利用函數的單調性解決恒成立問題．