Question

【題目】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意的，都有為常數(shù)，且．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）在滿足（2）的條件下，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)詳解；（2）（）；（3）證明過(guò)程見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）先由題意求出；再由，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）由（1）的結(jié)果得到，，．

再由，得到進(jìn)而可求出結(jié)果；

（3）先由（2）知，則,根據(jù)放縮法，與裂項(xiàng)相消，即可證明結(jié)論成立.

（1）證明：當(dāng)時(shí)，，解得．

當(dāng)時(shí)，．

即．

∵為常數(shù)，且，∴．

∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．

（2）解：由（1）得，，．

∵，

∴，即．

∴是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．

∴，即（）．

（3）證明：由（2）知，則,

所以，

當(dāng)時(shí)，，

所以

．