精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
上一點,M,N分別是雙曲線E的左右頂點,直線PM,PN的斜率之積為
1
5

(1)求雙曲線的離心率;
(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點,O為坐標原點,C為雙曲線上一點,滿足
OC
OA
+
OB
,求λ的值.
(1)∵P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
上一點,
x02
a2
-
y02
b2
=1
,
由題意又有
y0
x0-a
y0
x0+a
=
1
5
,
可得a2=5b2,c2=a2+b2,
則e=
c
a
=
30
5

(2)聯(lián)立
x2-5y2=5b2
y=x-c
,得4x2-10cx+35b2=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=
5c
2
,x1•x2=
35b2
4
,
OC
=(x3,y3),
OC
OA
+
OB
,
x3x1+x2
y3y1+y2

又C為雙曲線上一點,即x32-5y32=5b2,
有(λx1+x22-5(λy1+y22=5b2,
化簡得:λ2(x12-5y12)+(x22-5y22)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2
又A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,所以x12-5y12=5b2,x22-5y22=5b2,
而x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2
得λ2+4λ=0,解得λ=0或-4.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
3
2
,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+
2
=0
相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設P(4,0),M,N是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點,連接PN交橢圓C于另一點E,求直線PN的斜率的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,證明直線ME與x軸相交于定點.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

已知雙曲線E:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的離心率為e,左、右兩焦點分別為F1、F2,焦距為2c,拋物線C以F2為頂點,F(xiàn)1為焦點,點P為拋物線與雙曲線右支上的一個交點,若a|PF2|+c|PF1|=8a2,則e的值為( 。
A.
3
B.3C.
2
D.
6

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

直線y=2x+1與橢圓
x2
4
+
y2
16
=1
的位置關系是(  )
A.相交B.相切C.相離D.不確定

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C1
x2
4
+
y2
3
=1
,拋物線C2:(y-m)2=2px(p>0),且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點.
(Ⅰ)當AB⊥x軸時,求m、p的值,并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上;
(Ⅱ)是否存在m、p的值,使拋物線C2的焦點恰在直線AB上?若存在,求出符合條件的m、p的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
3
2
,以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0),設圓T與橢圓C交于點M與點N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求
TM
TN
的最小值,并求此時圓T的方程;
(3)設點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標原點,求證:|OR|•|OS|為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

斜率為1,過拋物線y=
1
4
x2的焦點的直線截拋物線所得的弦長為( 。
A.8B.6C.4D.10

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知直線l:y=x+m與拋物線y2=8x交于A、B兩點,
(1)若|AB|=10,求m的值;
(2)若OA⊥OB,求m的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

如圖,是圓的內接三角行,的平分線交圓于點D,交BC于E,過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F,在上述條件下,給出下列四個結論:①BD平分;②;③;④.則所有正確結論的序號是(   )
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④

查看答案和解析>>

同步練習冊答案