Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求數列{a_n}的通項a_n；
（3）設數列{b_n}滿足b1=

1

2

，bn+1=

b 2 n

(an+1)2

+bn，證明：①（

1

bn+1

-

1

bn

＞-

1

(n+1)2

； ②b_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由數列{a_n}中，a₁=1，na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n），分別令n=1，2，3，能求出a₂，a₃，a₄．
（2）由na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n），得（n-1）a_n=2（a₁+a₂++a_n-1），二者相減得到na_n+1=（n+1）a_n，由此能求出a_n．
（3）①由（2）得：b1=

1

2

，bn+1=

b 2 n

(an+1)2

+bn＞b_n＞b_n-1＞…＞b₁＞0，所以數列{b_n}是正項單調遞增數列，由此能夠證明

1

bn+1

-

1

bn

＞-

1

(n+1)2

．
②當n=1時，b1=

1

2

＜1顯然成立．當n≥2時，

1

bn

=(

1

bn

-

1

bn-1

)+…+(

1

b2

-

1

b1

)+

1

b1

＞-(1-

1

n

)+2=1+

1

n

=

n+1

n

，所以bn＜

n

n+1

＜1，由此能夠證明b_n＜1成立．

解答：（1）解：∵a₁=1，na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n），
∴a₂=2a₁=2，
2a₃=2（a₁+a₂）=6，a₃=3，
3a₄=2（a₁+a₂+a₃）=12，a₄=4；（3分）
（2）解：na_n+1=2（a₁+a₂++a_n）①
（n-1）a_n=2（a₁+a₂+…+a_n-1）②
①-②得na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
即：na_n+1=（n+1）a_n，

an+1

an

=

n+1

n

（6分）
所以an=a1

a2

a1

a3

a2

an

an-1

=1

2

1

3

2

n

n-1

=n(n≥2)
所以a_n=n（n∈N^*）；（8分）
（3）證明：①由（2）得：
b1=

1

2

，bn+1=

b 2 n

(an+1)2

+bn＞b_n＞b_n-1＞…＞b₁＞0，
所以數列{b_n}是正項單調遞增數列，（10分）
當n≥1，bn+1=

b 2 n

(n+1)2

+bn＜

1

(n+1)2

bnbn+1+bn，
所以

1

bn+1

-

1

bn

＞-

1

(n+1)2

，（12分）
②1°當n=1時，b1=

1

2

＜1顯然成立．
2°當n≥2時，

1

bn

=(

1

bn

-

1

bn-1

)+…+(

1

b2

-

1

b1

)+

1

b1

＞-(

1

n2

+

1

(n-1)2

+

1

22

)+2
＞-(

1

n(n-1)

+

1

(n-1)(n-2)

+

1

2×1

)+2
=-(

1

n-1

-

1

n

+

1

n-2

-

1

n-1

+

1

1

-

1

2

)+2
=-(1-

1

n

)+2=1+

1

n

=

n+1

n

，所以bn＜

n

n+1

＜1，
綜上可知，b_n＜1成立．（14分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意迭代法和放縮法的靈活運用．