Question

已知點P是圓O：x²+y²=3上動點，以點P為切點的切線與x軸相交于點Q，直線OP與直線x=1相交于點N，若動點M滿足：，記動點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點F（2，0）的動直線與曲線C相交于不在坐標軸上的兩點A，B，設，問在x軸上是否存在定點E，使得？若存在，求出點E的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設點M的坐標為（x，y），相應的點P的坐標為（x，y），進而可得直線PQ和OP的方程，求得Q和N的坐標，進而可x和y分別表示出x和y，代入圓方程即可得到曲線C的方程．
（2）設存在定點E（t，0）使得，設直線AB的方程為：x=my+2（m≠0），點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）用A，B的坐標分別表示出，代入，可求得λ的表達式，和聯(lián)立方程消去x，利用韋達定理求得y₁+y₂和y₁y₂，代入（1）式進而求得t，確定E的坐標．
解答：解：（1）設點M的坐標為（x，y），相應的點P的坐標為（x，y），則x²+y²=3，
直線PQ的方程為：xx+yy=3，所以點Q的坐標為，
直線OP的方程為：，所以點N的坐標為，
因此：，
即：，
所以曲線C的方程為：
，
即；
（2）設存在定點E（t，0）使得，
設直線AB的方程為：x=my+2（m≠0），點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由得到-y₁=λy₂，
即，
，得到：，
即：（my₁+2-t）y₂+y₁（my₂+2-t）=0，
即2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）=0（1）
由方程組：
得到：（my+2）²-3y²=3，
即（m²-3）y²+4my+1=0，
所以：m²-3≠0，且，
代入（1）式得到：，
要對滿足（m≠0）且m²-3≠0的實數(shù)m恒成立，
只需要2+（t-2）×4=0，即，
所以存在定點使得．
點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程和雙曲線與直線的綜合問題．當求直線與雙曲線的關系時常需要聯(lián)立方程消元后根據(jù)韋達定理找到解決問題的突破口．