已知函數(shù)．

（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設，求在上的最大值；

（3）試證明：對，不等式恒成立．

（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）當時,＝；

當時，＝；

當時，.

(3)證明略.


解析:

（１）∵，令得

∴，∵當時，當時

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當時函數(shù)有最大值；

（２）由（１）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

故①當即時，在上單調(diào)遞增，∴＝.

②當時，在上單調(diào)遞減，∴＝

③當，即時，

（３）由（1）知當時，

∴在上恒有，即且僅當時“＝”成立

∴對任意的恒有

∵且∴

即對，不等式恒成立．

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