Question

【題目】已知.

（I）若，判斷函數(shù)在的單調(diào)性；

（II）設(shè)，對(duì)，有恒成立，求的最小值；

（III）證明：.

Answer 1

【答案】（I）在單調(diào)遞增；（II）2；（III）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1），函數(shù)，

．．根據(jù)，可得，而．即可得出單調(diào)性．

（2）由題意知，，對(duì)，，有恒成立．，設(shè)，由，可得時(shí)，單調(diào)遞增，又，，因此在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，使，即，利用其單調(diào)性可得：，故，設(shè)，．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出所求的最小值．

（3）由可知時(shí)，（1），即：．設(shè)，可得，可得，求和利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解：（1），函數(shù)，．

．

又，，而．

，

故在上單調(diào)遞增．

（2）由題意知，，對(duì)，，有恒成立．

，

設(shè)，則，

由于，故，

時(shí)，單調(diào)遞增，又，，

因此在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，使，即，

且當(dāng)，，，單調(diào)遞減；

，，，，單調(diào)遞增．

故，

故，

設(shè)，．

，

又設(shè)，，

故在上單調(diào)遞增，因此，即，在上單調(diào)遞增，

，，又，，

故所求的最小值為2．

（3）由（1）可知時(shí)，，即：

設(shè)，則

因此

即

,

得證．