學(xué)校操場邊有一條小溝,溝沿是兩條長150米的平行線段,溝寬為2米,，與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線，拋物線的頂點為，對稱軸與地面垂直，溝深2米，溝中水深1米．
（Ⅰ）求水面寬；
（Ⅱ）如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體，已知柱體的體積為底面積乘以高，求溝中的水有多少立方米？

（Ⅲ）現(xiàn)在學(xué)校要把這條水溝改挖(不準(zhǔn)填土)成截面為等腰梯形的溝，使溝的底面與地面平行，溝深不變，兩腰分別與拋物線相切（如圖2），問改挖后的溝底寬為多少米時，所挖的土最少？

（Ⅰ）;（Ⅱ）；（Ⅲ）;

解析試題分析：（Ⅰ）建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，由拋物線過點，可得，可求出拋物線方程為，當(dāng)時，，由求出水面寬為（米）；
（Ⅱ）利用定積分求出曲面的面積，再利用柱體的體積公式求出體積；
（Ⅲ）易知為使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須同拋物線相切，設(shè)切點是拋物線弧上的一點，過作拋物線的切線得到如上圖所示的直角梯形，則切線的方程為：，于是，記梯形的面積為，則，利用基本不等式求出當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，所以改挖后的溝底寬為米時，所挖的土最少.
試題解析：（Ⅰ）如圖建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線方程為．
則由拋物線過點，可得．
于是拋物線方程為．
當(dāng)時，，由此知水面寬為（米）．
（Ⅱ）（立方米）
（Ⅲ）為使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須同拋物線相切．
設(shè)切點是拋物線弧上的一點，過作拋物線的切線得到如上圖所示的直角梯形，則切線的方程為：，于是．
記梯形的面積為，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，所以改挖后的溝底寬為米時，所挖的土最少.
考點：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.定積分的應(yīng)用；3.基本不等式在求函數(shù)的最值中的應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝－x3＋x2，g(x)＝aln x，a∈R.
(1)若對任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立，求a的取值范圍；
(2)設(shè)F(x)＝若P是曲線y＝F(x)上異于原點O的任意一點，在曲線y＝F(x)上總存在另一點Q，使得△POQ中的∠POQ為鈍角，且PQ的中點在y軸上，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2 (f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù))在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
(3)求證：×…×< (n≥2，n∈N*)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）求函數(shù).的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)的極值.

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已知函數(shù)的圖像過坐標(biāo)原點，且在點 處的切線斜率為.
（1）求實數(shù)的值；
（2） 求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（Ⅲ）若函數(shù)的圖像上存在兩點，使得對于任意給定的正實數(shù)都滿足是以為直角頂點的直角三角形，且三角形斜邊中點在軸上，求點的橫坐標(biāo)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件：
①在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)；
②是偶函數(shù)；
③在x＝0處的切線與直線y＝x＋2垂直．
(1)求函數(shù)＝的解析式；
(2)設(shè)g(x)＝，若存在實數(shù)x∈[1，e]，使<，求實數(shù)m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知為函數(shù)圖象上一點，為坐標(biāo)原點，記直線的斜率．
(Ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）如果對任意的，，有，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（Ⅰ）若，求在點處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的極值點.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(14分）己知函數(shù)f (x)=ex，xR
(1)求 f (x)的反函數(shù)圖象上點(1,0)處的切線方程。
(2)證明：曲線y=f(x)與曲線y=有唯一公共點；
(3)設(shè)，比較與的大小，并說明理由。

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同步練習(xí)冊答案