Question

已知數(shù)列{

an

λn

-(

3

λ

)n}是等差數(shù)列，公差為2，a₁，=11，a_n+1=λa_n+b_n．
（I）用λ表示b_n；
（II）若

lim

n→∞

bn+1

bn

=4，且κ≥3，求λ的值；
（III）在（II）條件下，求數(shù)列{a_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)所給的數(shù)列是一個等差數(shù)列且公差是2，應(yīng)用等差數(shù)列的定義，寫出連續(xù)兩項之差的關(guān)系，得到數(shù)列{a_n}的遞推式，代入定義的新數(shù)列，整理成最簡形式．
（II）本題以數(shù)列為條件，根據(jù)兩項的比值的極限是4，寫出極限式，檢驗變量λ的值，求出結(jié)果．
（III）這是一個求數(shù)列的和的問題，寫出數(shù)列的通項，發(fā)現(xiàn)需要分組來解，分組后一個用等比數(shù)列前n項和，一個用錯位相減，這是一個典型的數(shù)列求和問題．

解答：解：（I）因為數(shù)列{

an

λn

-(

3

λ

)n}是等差數(shù)列，公差為2所以

an+1

λn+1

-

3n+1

λn+1

=

an

λn

-

3n

λn

+2?an+1=λ•an+3n+1+2λn+1-λ•3n
∴b_n=3ⁿ⁺¹+2λⁿ⁺¹-λ•3ⁿ=2λⁿ⁺¹+3ⁿ（3-λ）??
（II）又

lim

n→∞

bn+1

bn

=

lim

n→∞

2λn+2+3n+1(3-λ)

2λn+1+3n(3-λ)

當λ=3時，

lim

n→∞

bn+1

bn

═λ=3，
與已知矛盾，
∴λ≠3
當λ＞3時，

lim

n→∞

bn+1

bn

=

lim

n→∞

2λ+(3-λ)( 3 λ )n+1

2+ 3-λ λ ( 3 λ )n

=λ=4
∴λ=4
（III）由已知當λ=4時，

an

4n

=

3n

4n

=

11-3

4

+2(n-1)=2n?an=2n•4n+3n
令An=2×4+4×42+6×43++2n×4n=

8

9

+

6n-2

9

×4n+1Bn=3+32+33++3n=

3n+1

2

-

3

2

∴數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=An+Bn=

8

9

+

6n-2

9

×4n+1+

3n+1

2

-

3

2

=-

11

18

+

3n+1

2

+

6n-2

9

×4n+1

點評：有的數(shù)列可以通過遞推關(guān)系式構(gòu)造新數(shù)列，構(gòu)造出一個我們較熟悉的數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項公式．這類問題考查學生的靈活性，考查學生分析問題及運用知識解決問題的能力，這是一種化歸能力的體現(xiàn)．