Question

【題目】已知函數(shù)， 為實常數(shù)．

(Ⅰ)設(shè)，當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)當(dāng)時，直線、與函數(shù)、的圖象一共有四個不同的交點，且以此四點為頂點的四邊形恰為平行四邊形．

求證： ．

Answer 1

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；(2)證明見解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，因為 ，所以顯然 得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，即 ，所以分析函數(shù) ，根據(jù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，若 ，即一個根小于1，一個根大于1，即得結(jié)果.

試題解析：(Ⅰ) ，其定義域為

而，

當(dāng)時， ，

故F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．

(Ⅱ)因為直線與平行，

故該四邊形為平行四邊形等價于且 ．

當(dāng)時， ，

則．令

則 ，

故在上單調(diào)遞增；

而，

故時單調(diào)遞減； 時單調(diào)遞增；

而，

故或0 < n <1< m，

所以．