Question

已知x=

1

2

是f(x)=2x-

b

x

+lnx的一個極值點．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅲ）設g(x)=f(x)-

1

x

，試問過點（2，5）可作多少條曲線y=g（x）的切線？為什么？

Answer 1

分析：（Ⅰ）解f′（

1

2

）=0得到b值，再驗證x=

1

2

為極值點．
（Ⅱ）在定義域內解不等式f′（x）＞0即可．
（Ⅲ）設切點坐標，表示出切線方程，轉化為方程的解的個數問題，進一步利用數形結合即可求得．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．
f′（x）=2+

b

x2

+

1

x

，∵x=

1

2

是f(x)=2x-

b

x

+lnx的一個極值點，
∴f′（

1

2

）=0，即 2+4b+2=0，得b=-1，當b=-1時，f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x2

，
當0＜x＜

1

2

時，f′（x）＜0；當x＞

1

2

時，f′（x）＞0，所以x=

1

2

為f（x）的極小值點，
所以b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x2

，令f′（x）＞0得x＞

1

2

，
∴函數f（x）的單調增區(qū)間為[

1

2

，+∞)．
（Ⅲ）g(x)=f(x)-

1

x

=2x+lnx，
設切點坐標為（x₀，2x₀+lnx₀），則斜率為2+

1

x0

，切線方程為：y-2x₀-lnx₀=（2+

1

x0

）（x-x₀）．
∴又切線過點（2，5），∴5-2x₀-lnx₀=（2+

1

x0

）（2-x₀），
即lnx0+

2

x 0

-2=0，令h（x）=lnx+

2

x

-2，
則h′（x）=

1

x

-

2

x 2

=0，得x=2．
h（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增又∵h(

1

2

)=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h(e2)=

2

e2

＞0
∴h（x）與x軸有兩個交點，
故過點（2，5）可作2條曲線y=g（x）的切線．

點評：本題考查了應用導數研究函數的極值、單調性問題，難度稍大，注意本題中數形結合思想與轉化思想的運用．