Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+2．
（1）若a=-1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若a≠0 求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）首先對f（x）求導(dǎo)，求出f'（2）=7，f（2）=4；利用點斜式列出直線方程；
（2）求出導(dǎo)函數(shù)零點，然后對參數(shù)a分類討論判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；

解答 解：（1）若a=-1時，f（x）=x³-x²-x+2；
則f'（x）=3x²-2x-1，故f'（2）=7，f（2）=4；
切線方程：y-4=7（x-2）
化簡后：7x-y-10=0．
（2）f'（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a）；
由f'（x）=0得x=-a或x=$\frac{a}{3}$；
①當(dāng)a＞0時，由f'（x）＜0，得-a＜x＜$\frac{a}{3}$，
由f'（x）＞0得x＜-a或x＞$\frac{a}{3}$；
此時f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-a，$\frac{a}{3}$），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a），（$\frac{a}{3}$，+∞）；
②當(dāng)a＜0時，由f'（x）＜0得$\frac{a}{3}$＜x＜-a，由f'（x）＞0得x＜$\frac{a}{3}$或x＞-a．
此時f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{a}{3}$，-a），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，$\frac{a}{3}$）和（-a，+∞）．

點評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與切線方程關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，分類討論思想，屬中等題．