橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上任一點P到兩個焦點的距離的和為6，焦距為4
2
，A，B分別是橢圓的左右頂點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P與A，B均不重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1，k2，證明：k1•k2為定值；
（Ⅲ）設(shè)C（x，y）（0＜x＜a）為橢圓上一動點，D為C關(guān)于y軸的對稱點，四邊形ABCD的面積為S（x），設(shè)f(x)=
S2(x)
x+3
，求函數(shù)f（x）的最大值．
分析：（Ⅰ）由題意得，2a=6，2c=4
2
，再據(jù)b2=a2-c2求出b2的值，即可得到橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0），利用斜率公式及P在橢圓上求得k1和k2 的解析式，從而計算出 k1•k2的值．
（Ⅲ）由題意，四邊形ABCD是梯形，求出S（x），可得函數(shù)f（x）的解析式，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，
從而求出極值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得，2a=6，∴a=3．
又2c=4
2
，∴c=2
2
，b2=a2-c2=1，故橢圓的方程為
x2
9
+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0）（y0≠0），A（-3，0），B（3，0），，則
x02
9
+y02=1，即
y
2
0
=1-
x
2
0
9
，則k1=
y0
x0+3
，k2=
y0
x0-3
，即 k1•k2=
y
2
0
x
2
0
-9
=
1-
x
2
0
9
x
2
0
-9
=-
1
9
，∴k1•k2為定值 -
1
9
．
（Ⅲ）由題意，四邊形ABCD是梯形，則 S(x)=
1
2
(6+2x)|y|，且y2=1-
x2
9
，
于是，f(x)=
S2(x)
x+3
=
(x+3)2(1-
x2
9
)
x+3
=-
x3
9
-
x2
3
+x+3 （0＜x＜3），
f′(x)=-
x2
3
-
2
3
x+1．  令f'（x）=0，解之得x=1或x=-3（舍去），
當0＜x＜1，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當1＜x＜3，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
所以f（x）在x=1時取得極大值，也是最大值
32
9
．
點評：本題考查橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應用，以及利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF1的中點，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè) A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點，O為坐標原點，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點坐標為（a，0），求點B的坐標；
（2）設(shè)
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點M在橢圓上；
（3）若點P、Q為橢圓 上的兩點，且
PQ
∥
OB
，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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