如圖,ABCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體,E、F分別是棱AB、BC上的動點,且AE=BF.
(1)求證:A1F⊥C1E;
(2)當(dāng)A1、E、F、C1共面時,求:
①D1到直線C1E的距離;
②面A1DE與面C1DF所成二面角的余弦值.

【答案】分析:(1)以D為原點,DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,我們易給出正方體中各個點的坐標(biāo),進(jìn)而求出向量坐標(biāo),代入向量數(shù)量積公式,易得,即A1F⊥C1E;
(2)①在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB∥C1D1,則△BC1D1與△EC1D1面積相待,故D1到直線C1E的距離h滿足,代入即可得到答案;
②我們求出面A1DE與面C1DF的法向量,求出兩個向量夾角的余弦的絕對值,即可得到答案.
解答:解:(1)以D為原點,DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A1(6,0,6)、C1(0,6,6),設(shè)AE=m,則E(6,m,0),F(xiàn)(6-m,6,0),
從而、,
,
所以A1F⊥C1E(4分).
(2)①當(dāng)A1、E、F、C1共面時,
因為底面ABCD∥A1B1C1D1,
所以A1C1∥EF,
所以EF∥AC,
從而E、F分別是AB、BC的中點(7分),
設(shè)D1到直線C1E的距離為h,
在△C1D1E中,,
,
解得(7分).
②由①得,E(6,3,0)、F(3,6,0),
設(shè)平面A1DE的一個法向量為
依題意,
所以,
同理平面C1DF的一個法向量為,
由圖知,面A1DE與面C1DF所成二面角的余弦值

點評:本題考查的知識點是向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系,點、線、面間的距離計算、用空間向量求平面間的夾角,其中建立空間坐標(biāo)系,將總是轉(zhuǎn)化為一個向量計算問題是解答本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,ABCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體,E、F分別是棱AB、BC上的動點,且AE=BF.
(1)求證:A1F⊥C1E;
(2)當(dāng)A1、E、F、C1共面時,求:
①D1到直線C1E的距離;
②面A1DE與面C1DF所成二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論中正確的是
①②④
①②④
.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上)
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥平面CB1D1;
③AC1與底面ABCD所成角的正切值是
2
;
④二面角C-B1D1-C1的正切值是
2

⑤過點A1與異面直線AD與CB1成70°角的直線有2條.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論中正確的結(jié)論是
①②
①②
.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上)
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥平面CB1D1
③過點A1與異面直線AD和CB1成90°角的直線有2條.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,長方體ABCD—A1B1C1D1中,點O是B1D1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,對下列結(jié)論,錯誤的是(    )

A.A、M、O三點共線                      B.A、M、O、A1四點共面

C.A、O、C、M四點共面                 D.B、B1、O、M四點共面

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