Question

設a_n是(3-

x

)n(n∈N*且n≥2)的展開式中x的系數，則

lim

n→∞

(

32

a2

+

33

a3

+…+

3n

an

)=

18

．

Answer 1

分析：先求出a_n =C_n² 3^n-2，化簡

3n

an

=18（

1

n-1

- 

1

n

），代入要求的式子化簡運算求得結果．

解答：解：二項式(3-

x

)n(n∈N*且n≥2)的展開式的通項公式 _Tr+1 =

C

r n

3n-r(-1)rx

r

2

，
令r=2 可得x的系數 a_n =C_n² 3^n-2，∴

3n

an

=

3n

C 2 n 3n-2

=

18

n(n-1)

=18（

1

n-1

- 

1

n

）．
∴

lim

n→∞

(

32

a2

+

33

a3

+…+

3n

an

)=

lim

n→∞

18[(1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n-1

-

1

n

) ]=

lim

n→∞

18（1-

1

n

）=18，
故答案為：18．

點評：本題主要考查二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，用裂項法進行數列求和，求數列的極限，求出

3n

an

=
18（

1

n-1

- 

1

n

），是解題的關鍵．