Question

（Ⅰ）已知函數(shù),若存在，使得,則稱是函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù).

(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；

(Ⅱ) 若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，若函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，且直線是線段的垂直平分線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為 。

（Ⅱ） 

（Ⅲ）實(shí)數(shù)的取值范圍.

【解析】

試題分析：

思路分析：(Ⅰ) 解方程確定函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為 。

（Ⅱ）由題意，得到方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

根據(jù)判別式，解得  。

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)為得到,，

且是的兩個(gè)不等實(shí)根， 得到

直至中點(diǎn)坐標(biāo)為。根據(jù)

，且在直線上得到a,b的關(guān)系。

解：(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，，

解，得。

所以函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為 。

（Ⅱ）因?yàn)?對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，

所以，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

所以  ，

即  對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，

所以   ，解得   

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)為，則,

且是的兩個(gè)不等實(shí)根， 所以

直線的斜率為1，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為

因?yàn)?直線是線段的垂直平分線，

所以 ，且在直線上

則        

所以  當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立

又      所以 實(shí)數(shù)的取值范圍.

考點(diǎn)：新定義問題，均值定理的應(yīng)用，一元二次方程根的研究。

點(diǎn)評(píng)：難題，本題給出“不動(dòng)點(diǎn)”的概念，解題過程中，應(yīng)注意理解并應(yīng)用這一概念。將問題轉(zhuǎn)化成一元二次方程問題，結(jié)合直線方程，應(yīng)用均值定理，達(dá)到解題目的。