Question

【題目】若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”．

已知函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；

設(shè)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

若為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是“局部奇函數(shù)”；（2） ；（3）.

【解析】

運(yùn)用兩角和與差的正弦公式，化簡，再由由局部奇函數(shù)的定義，即可判斷；

根據(jù)局部奇函數(shù)的定義，可得方程在上有解，運(yùn)用換元法，令，則，求出右邊的值域即可；

根據(jù)“局部奇函數(shù)”的定義可知，有解即可設(shè)，則，即有方程等價(jià)為在時(shí)有解，設(shè)，由對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，列出不等式，解出即可．

解：由于，，

則，由于，則，

當(dāng)時(shí)，成立，由局部奇函數(shù)的定義，可知該函數(shù)為“局部奇函數(shù)”；

根據(jù)局部奇函數(shù)的定義，時(shí)，可化為，

因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>，所以方程在上有解，

令，則，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，

所以時(shí)，所以，

即．

根據(jù)“局部奇函數(shù)”的定義可知，函數(shù)有解即可，

即，

，

即有解即可．

設(shè)，則，

方程等價(jià)為在時(shí)有解，

設(shè)，

對(duì)稱軸，

若，則，

即，

，此時(shí)，

若，要使在時(shí)有解，

則，即，

解得，

綜上得，