如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點．
（1）證明：EF∥面PAD；
（2）證明：面PDC⊥面PAD．
分析：（1）證明EF∥面PAD，可用線面平行的判定定理，由題設及圖，可先證明EF∥AP再由線面平行的判定定理證明；
（2）證明面PDC⊥面PAD，由判定定理知要先證明線面垂直，由題設及圖知，可先證AP⊥面PCD，再由面面垂直的判定定理證明面面垂直．
解答：解：（1）如圖，連接AC，
∵ABCD為矩形且F是BD的中點，
∴AC必經過F．（2分）
又E是PC的中點，
所以，EF∥AP．（4分）
∵EF在面PAD外，PA在面內，
∴EF∥面PAD（6分）
（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD，
∴CD⊥面PAD，（8分）
又AP?面PAD，
∴AP⊥CD．（9分）
又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直線，AP⊥面PCD．（11分）
又AD?面PAD，所以，面PDC⊥面PAD．（12分）
點評：本題考查線面平行與面面垂直，掌握線面平行的判定定理與面面垂直的判定定理是解決本題的關鍵，立體幾何的證明題主要考查定理的使用及空間立體感知能力，觀察能力，推理判斷能力
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當平面ABCD內有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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